2014高考数学百题精练分项解析6(5)

13.在等比数列{an}中,a1+a3=10,a2+a4=20,设cn=11-log2a2n. (1)求数列{cn}的前n项和Sn. (2)是否存在n∈N*

,使得111

a 2 成立？请说明理由. nan3

【解析】(1)由已知得

2

a1(1 q) 10,

a1 2, a) 20, 2

1q(1 q q 2.

∴an=an-1n

1q=2.

∴c=11-log2n

n=11-log2a2n22 =11-2n. Sn=c1+c2+ +cn(cn(9 11 2n)2

n=

1 cn)2 2

=-n+10n. (2)假设存在n∈N*

,使得

1a 11a即111

2 2n a

2n 3. nn3∴22n+3×2n

-3＜0,解得

3 21 3 2 2n

21

2

. ∵

3 21 3 52

2

=1,而2n

≥2, 故不存在n∈N*

满足

12n 11

a

2n

3. 14.已知函数f(x)=x 2

x 1

,x∈(0,+∞),数列{xn}满足xn+1=f(xn),(n=1,2, ),且x1=1.

(1)设an=|xn-2|,证明：an+1＜an;

(2)设（1）中的数列{an}的前n项和为Sn，证明：Sn＜

22

. 证明：（1）axn+1=|xn+1-2|=|f(xn)-2|=|n 2x 1 2| |(xn 2)(2 1)

x|. nn 1

∵xn＞0,

∴an+1＜(2-1)|xn-2|＜|xn-2|=an, 故an+1＜an.

(2)由（1）的证明过程可知 an+1＜(2-1)|xn-2| ＜(2-1)2

|xn-1-2|