【全国百强校】甘肃省西北师范大学附属中学2(7)

EC1 与平面 ABB1 A1 所成的角的正弦值 所以直线

sin | cos |=. -------------------------------------------------------12 分

1 14

19.解： (Ⅰ)列联表如下

a 47.619 10.828

2

b)(c d )(a c)(b d ) 500 500 700 300 所以有 99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与不同的分厂有关”. -------------6 分 （Ⅱ）甲厂有 4 件优质品，1 件非优质品，乙厂有 3 件优质品，2 件非优质品.

从两个厂各抽取 2 件产品，优质品数

X 的取值为1, 2, 3, 4

CCC C C 1 3 C C P( X 1) ； P( X 2) ；

C C 25 10 C C

22 1 3 9 12 C C 94 3 P( X 3) 1 P( X 4) 2 2 ，所以 --------------10 分 C 5 C 5 50 25 10 50 25

所以 X 的分布列为

1 2

4 2

2 2 5 5

111 224 2 3 4 2

2 2 5 5

p 17 ，2 4

分 20. 解：（Ⅰ）∵点 M 到抛物线准线的距离为 4

∴ p ，即抛物线 C 的方程为 y 2 x ．-----------------------------------------------------4 分 （Ⅱ）法一：∵当 AHB 的角平分线垂直 x 轴时，点 H (4,2) ，∴ kHE kHF ， 设 E ( x1 , y1 ) ， F ( x2 , y2 ) ，∴yH y1 yH y2 ∴yH y1 yH y2 ，

2 22 2

1

2

xH x1 xH x2 yH y1 y H y2

∴ y1 y2 2 yH 4 . ------------------------------------------------------------------------------6 分

1 y y y y1

．-----------------------------------------------------12 分k EF 2

x 2 x y 2 y 41 2 y1 2 y 1

法二：∵当 AHB 的角平分线垂直 x 轴时，点 H (4,2) ，∴ AHB 60 ，可得 k HA ，

HA 的方程为 y 2 ， k HB ∴直线

6 13 ， ∵ y ∴ y E ．----------------------------10 分 xE E 2 y 2 2

y 2 0 ， 联立方程组 2

y x

3 3 3

10

6 ， xF 13 ， 同理可得 y F

3 3

∴ k EF 1 ．-----------------------------------------------------------------------------12 分

4

21.【解析】（1）依题意，函数 f ( x) 的定义域为 (0, ) ，对 f ( x) 求导，得 f ( x) a

①若 a 0 ，对一切 x 0 有 f ( x) 0 ，函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ) ．

1

x 1 ax

x

1 1

a 0 ，当 ②若 x 时， f ( x) 0 ；当 x ) 时， f ( x) 0 ．

a

a

1 1

分 所以函数 f ( x) 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ) -----------------4

a a

（2）设切线 l2 的方程为 y k2 x ，切点为 ( x2 , y2 ) ，则 y2 e ，

x2

yx2 ex2 e ． x 1 ， y k g( x ) e ，所以 k22 2 2 2 e ，则 x2

1 1 1

由题意知，切线 l1 的斜率为 l1 的方程为 k1 ， y k1 x x ．

e k2 e

1 1 yl1 与曲线 ( x1 , y1 ) ，则 设 y f ( x) 的切点为 k1 f ( x1 ) a ，

x1 e x1

所以 y1

x1 1 1 ． 1 ax ， a 1

x1 e e

1 1

又因为 y1 ln x1 a(x1 1) ，消去 y1 和 a 后，整理得 分 ln x1 1 0 ．------------6

x1 e

令 m( x) ln x 1 0 ，则 m' ( x)

1 1

x e 1 1x 1

2 2，x x x

m( x) 在 (0,1) 上单调递减，在 (1, ) 上单调递增．

1 1 1 1

若 x1 (0,1) ，因为 m 2 e 0 ， m(1) 0 ，所以 x1 ，

e e e e

2 e 1e 1 1 1 1 而 ．a 在 x1 上单调递减，所以 a

x1 e e e e

x1 (1, ) ，因为 x1 e ， 若 m( x) 在 (1, ) 上单调递增，且 m(e) 0 ，则

2

e 1 1 1 e 1 所以 ．综上可知，． -----------------------8 分 a 0 （舍去） a x1 e e e

1 a ．

（3） h(x) f (x 1) g ( x) ln(x 1) ax e， h ( x) e

x 1

1 1 a 2 a 0 ， x x

①当 a 2 时，因为 e x 1 ，所以 h ( x) e a x 1

x 1 x 1

x

x

h( x) 在 0, 上递增， h( x) h(0) 1 恒成立，符合题意．

11

1 ( x 1)2 ex 1

②当 a 2 时，因为 h ( x) e 0 ，所以 h ( x) 在 0, 上递增，且 22

( x 1) ( x 1)

h (0) 2 a 0 ，则存在 x0 (0, ) ，使得 h (0) 0 ．

x

所以 h( x) 在 (0, x0 ) 上递减，在 ( x0 , ) 上递增，又 h( x0 ) h(0) 1 ，所以 h( x) 1 不恒成立， 不合题意．

综合①②可知，所求实数 a 的取值范围是 , 2 ．

----------------------------12 分

22.解：

（Ⅰ）连接 BD ，则 AGD ABD ， ABD DAB 90， 因为 C CAB 90，所以 C AGD ， C DGE 180， 因此 C, E, G, D 四点共圆； （Ⅱ）设 EG x ， GA 3x ，

2

---------------------------------------------------------5 分

由切割线定理 EG EA EB，则 EB 2 x ，又 F 为 EB 三等分，所以 EF

2 x 4x

FB 3 3

FC 又 FE FC FG FD ， FG FD FB， 所以

23.解：（Ⅰ）设 P( x, y) ，则根据题设画图知

2

8x

， CE 2 x ，即 CE EB ．----10 分 3

2 1

x | AB | cos( ) 2 cos ， y | AB | sin( ) sin ，

3 3

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