2012年海淀区二模数学试题及参考答案(理科)(7)

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557

，所以m?. ,-?

44216

57

下面证明m=时，QA QB 恒成立. ……………8分

416

7

显然 直线l的斜率为0时，QA QB .

16

由于(1+

当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x=ty+1，A(x1,y1),B(x2,y2).

5?(142

ìïx2ï+y2=1,ï 由í2可得：(t2+2)y2+2ty-1=0. 显然 >0. ïïïîx=ty+1

ì2tïïy+y=-,12ï2ït+2

ï…………10分 因为 x1=ty1+1，x2=ty2+1， í

ï1ïy1y2=-2.ïït+2ïî

所以 (x1-2

5

,y1)?(x2451111,y2)=(ty1-)(ty2-)+y1y2=(t2+1)y1y2-t(y1+y2)+ 444416

112t1-2t2-2+t217+t2+ =-(t+1)2. =+=-t+24t+2162(t2+2)1616

57

综上所述：在x轴上存在点Q(,0)，使得QA QB 恒成立.…………13分

416

19、（本小题满分14分）

a x2 (a 1)x

x 1 （Ⅰ）解：f(x)的定义域为(a, ).f'(x) .……………1分 x ax a

令f'(x) 0，x 0或x a+1.

当 1 a 0时，a+1 0，函数f(x)与f'(x)随x的变化情况如下表：

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所以，函数f(x)的单调递增区间是(0,a+1)，单调递减区间是(a,0)和(a+1,+ ).………3分

x2

当a=-1时，f'(x) 0. 所以，函数f(x)的单调递减区间是(-1,+ ).…………4分

x 1

当a 1时，a+1 0，函数f(x)与f'(x)随x的变化情况如下表：

所以，函数f(x)的单调递增区间是(a+1,0)，单调递减区间是(a,a+1)和(0,+ ).……5分 （Ⅱ）证明：当 1 a 2(ln2 1) 0时，由（Ⅰ）知，f(x)的极小值为f(0)，极大值为f(a 1).

)a因为f(0

11

l na( ，)f(a 1) (a 1)2 (a 1) (1 a2) 0，且f(x)在

22

(a+1,+ )上是减函数，

所以f(x)至多有一个零点. ……………………………………7分 又因为f(a 2) aln2

121

a a a[a 2(ln2 1)] 0， 22

所以 函数f(x)只有一个零点x0，且a 1 x0 a 2.…………9分 （Ⅲ）解：因为 1

4

2(ln2 1)， 5

所以 对任意x1,x2 [0,x0]且x2 x1 1,

)可知：x1 [0,a 1)，x2 (a 1,x0]，且x2 1.…10分 由(Ⅱ

因为 函数f(x)在[0,a+1)上是增函数，在(a+1,+ )上是减函数， 所以 f(x1) f(0)，f(x2) f(1). ………………11分 所以 f(x1)-f(x2)?f(0)

f(1).当a

4

时， 5

f(0) f(1) aln(

a1491

) =ln >0. a 12542

所以 f(x1)-f(x2)?f(0)

f(1)>0. ……………………………………13分