2012年海淀区二模数学试题及参考答案(理科)(3)

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18．（本小题满分13分）

x2y2已知椭圆C:2 2 1(a b 0)的右焦点为F

(1,0)，且点( 1,在椭圆C上．

ab2

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点．试问x轴上是否存在定点Q，

uuruuur7使得QA QB 恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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19．（本小题满分14分）

已知函数f(x) aln(x a) （Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若 1 a 2(ln2 1)，求证：函数f(x)只有一个零点x0，且a 1 x0 a 2； （Ⅲ）当a

12

x x(a 0)． 2

4

时，记函数f(x)的零点为x0，若对任意x1,x2 [0,x0]且x2 x1 1, 5

都有f(x2) f(x1) m成立，求实数m的最大值．

（本题可参考数据：ln2 0.7,ln

20．（本小题满分13分）

*

将一个正整数n表示为a1+a2+L+ap(p N)的形式，其中aiÎN*，i=1,2,L,p，

99

0.8,ln 0.59） 45

且a1 a2 L ap，记所有这样的表示法的种数为f(n)（如4 4，4 1 3，4 2 2，

4 1 1 2，4 1 1 1 1，故f(4) 5）．

（Ⅰ）写出f(3)，f(5)的值，并说明理由；

（Ⅱ）对任意正整数n，比较f(n 1)与[f(n) f(n 2)]的大小，并给出证明； （Ⅲ）当正整数n 6时，求证：f(n) 4n 13．

1

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