（1）若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数，且)(x g 在),1(+∞上有最小值，求a 的取值范围；

（2）若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，试求)(x f 的零点个数，并证明你的结论． 解：（1）a x x f -=

'1)(≤0在),1(+∞上恒成立，则a ≥x 1，

)1(∞+∈，x ． 故：a ≥1． a x g x -='e )(，

若1≤a ≤e ，则a x g x -='e )(≥0在),1(+∞上恒成立，

此时，ax e x g x -=)(在),1(+∞上是单调增函数，无最小值，不合；

若a ＞e ，则ax e x g x -=)(在)ln 1(a ，上是单调减函数，在)(ln ∞+，a 上是单调增函数，)ln ()(min a g x g =，满足．

故a 的取值范围为：a ＞e ．

（2）a x g x -='e )(≥0在),1(+∞-上恒成立，则a ≤e x ，

故：a ≤1e ．

)0(11)(>-=-='x x ax a x x f ．

(ⅰ)若0＜a ≤1e ，令)(x f '＞0得增区间为(0，1a )；

令)(x f '＜0得减区间为(1a ，﹢∞)．

当x →0时，f (x )→﹣∞；当x →﹢∞时，f (x )→﹣∞；

当x ＝1a 时，f (1a )＝﹣ln a －1≥0，当且仅当a ＝1e 时取等号．

故：当a ＝1e 时，f (x )有1个零点；当0＜a ＜1e 时，f (x )有2个零点．

(ⅱ)若a ＝0，则f (x )＝﹣ln x ，易得f (x )有1个零点．

(ⅲ)若a ＜0，则01)(>-='a x

x f 在)0(∞+，上恒成立， 即：ax x x f -=ln )(在)0(∞+，上是单调增函数，

当x →0时，f (x )→﹣∞；当x →﹢∞时，f (x )→﹢∞．

此时，f (x )有1个零点．

综上所述：当a ＝1e 或a ＜0时，f (x )有1个零点；当0＜a ＜1e 时，f (x )有2个零点．