初中数学竞赛辅导资料（19）

因式分解

甲内容提要 和例题

我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法

1． 添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式 例1因式分解：①x4+x2+1 ②a3+b3+c3－3abc

①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式

解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x) ②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2 解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2 ＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c)

=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc)

例2因式分解：①x3－11x+20 ② a5+a+1

① 分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里16是完全平方数）

② 解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4)

=x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5)

③ 分析：添上－a2 和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式

解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1

=a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1)

2． 运用因式定理和待定系数法

定理：⑴若x=a时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x－a ⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。

例3因式分解：①x3－5x2+9x－6 ②2x3－13x2+3

①分析：以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。 解：∵x=2时，x3－5x2+9x－6＝0，∴原式有一次因式x －2， ∴x3－5x2+9x－6＝（x －2）（x2－3x+3,）

②分析：用最高次项的系数2的约数±1，±2分别去除常数项3的约数 ±1，±3得商±1，±2，±

可知只有当x=

13，±，再分别以这些商代入原式求值， 221时，原式值为0。故可知有因式2x-1 250