x2

y2 1，其“准圆”方程为x2 y2 4． 4分 故椭圆C的方程为3

m2

n2 1， （2）由题意，可设B(m,n),D(m, n

)(m，则有3

又A点坐标为(2,0)，故AB (m 2,n),AD (m 2, n)，

m2222

) 故AB AD (m 2) n m 4m 4 (1 3

443

m2 4m 3 (m )2, 8分

332

43

又m

(m )2 [0,7 ，

32

所以AB

AD的取值范围是[0,7 ． 10分 （3）设P(s,t)，则s2 t2 4．

当s 时，t 1，则l1,l2其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有l1 l2．

当s P(s,t)且与椭圆有一个公共点的直线l的斜率为k， 则l的方程为y t k(x s)，代入椭圆C方程可得

x2 3[kx (t ks)2] 3，即(3k2 1)x2 6k(t ks)x 3(t ks)2 3 0，

由 36k2(t ks)2 4(3k2 1)[3(t ks)2 3] 0， 13分 可得(3 s2)k2 2stk 1 t2 0，其中3 s2 0， 设l1,l2的斜率分别为k1,k2，则k1,k2是上述方程的两个根，

1 t21 (4 s2)

1，即l1 l2． 故k1k2 22

3 s3 s

综上可知，对于椭圆C上的任意点P，都有l1 l2． 16分 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．

解：（1）由题意知f(2x) f(x) 1恒成立，令x 2k(k N*)， 可得f(2k 1) f(2k) 1，∴{f(2k)}是公差为1的等差数列，

故f(2n) f(20) n，又f(20) 3，故f(2n) n 3． 3分 （2）当x [1,2)时，f(x) k |2x 3|，令x 1，可得f(1) k 1 3，

解得k 4，即x [1,2)时，f(x) 4 |2x 3|， 4分 故f(x)在[1,2)上的取值范围是[3,4]． 又( 2,0)是f(x)的一个“P数对”，故f(2x) 2f(x)恒成立， 当x [2k 1,2k)(k N*)时，

x2k 1

[1,2)，

xxx

f(x) 2f() 4f() … ( 2)k 1f(k 1)， 6分

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