HDD基准的概率。第一种假设的有效性我们通过对月平均温度和所给CDD数据月份记录的原始数据做相关性（也就是做次序统计量的线性相关，用Rr表示）分析进行检验。这个计算运用了全美国250个气象台站的数据，得到的所有的Rr值都大于0.9，其中99%都是大于0.95的。当一个Rr 真实值接近或等于预测值时，在最热的年份时将是CDD最高时，并以此类推。因此，第一个假设成立。第二个假设是是通过计算与上述相同的250各站点的Tm和月HDD的Rr来验证。结果显示它们都接近-1（所有的Rr值都小于-0.95，其中95%小于-0.99），这表示了在最热的年份里，HDD最低，并以此类推，同理，第二个假设成立。

CPC的季度预报还提供了月度和季度总冰雹的pA, pN和pB 值。当W代表总冰雹量时，pA, pN和pB 通常分别表示为CDD高于，近似和低于气象基准的概率。

刚才我们表述了如何得到W在高于，相似和低于基准的概率，分别用pAW , pNW和pBW表示。下面，我们将历史的W进行分类，我们分为三类：1）最高的33%2）中间的34%和3）最低的33%部分，样本由三组数据代替。从1,2,3组中提出的数据样本数分别与pAW, pNW和pBW数成比例。现有研究的数据样本总数为30000。这组W样本（例：由直方图2a概要）同时反映了历史观察值和CPC预报天气基准的偏差值。

b.计算混合合约中的 fW(w)和fPN(p)

PDF中的W是一个随机变化的矢量，是一个分析函数（例如：多元正态分布）或者是近似的多维直方图。前者是不可行的，因为没有办法优先得到fW(w)的函数形式。而同时，当W的维度多于二元时，后者很难具象化构建方程。因此我们定义随机变量W的特征为一个M*n的矩阵Z，其中M是一个很大的整数，n是W的维数。Z中的每一行都是W的一个特性，而第j列包含了Wj的M个特性。

我们用一种非常重要的组成分析方法构建Z，因为这种方法现今已在文学分析中非常常用(e.g., Bretherton et al.1992)，在数学中的衍生应用就不再赘述，我们先移除Wj的历史记录中暂时性平均值，j的取值范围从1到n。下面，我们将历史数据建立矩阵W，结构中其第j列的数据为从Wj中平均移除的历史记录。这里W为一个m*n的矩阵，m为历史记录的数量，计算出矩阵W的协方差，由A表示。

对矩阵协方差A的值分解表达式为 A = U ^ UT (A1)

其中U是一个正交矩阵，^是对角矩阵元素的分解值，W的PC定义为：Y = WU （A2） 矩阵的协方差Y是一个对角矩阵因为：

这代表了Y的每一列数都是不相关的。

下面，对每一列Y值独立取样M次代替相应位置得到M*n的矩阵Y*。因为在Y*中第j列的每个元素都对应了Y矩阵中第j列的随机样本元素，前者的变化性与后者相同。且Y矩阵中每不同列的样本均相互独立，对矩阵Y*同理。这就意味着矩阵Y*的协方差为对角矩阵。也因此Y*的协方差矩阵也是A。假设 Z* = Y*UT （A4）

可得到Z*的协方差矩阵为：