第5页 共6页 ∠BAC ＝π2

，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求： (1)三棱锥P -ABC 的体积；

(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．

解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P -ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA ＝13

×23×2＝433

. (2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，

所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE

中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34

. 故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34

. 3.如图所示，三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面是边长为2的正三角形，侧棱

A 1A ⊥底面ABC ，点E ，F 分别是棱CC 1，B

B 1上的点，点M 是线段A

C 上

的动点，EC ＝2FB ＝2.

(1)当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?

(2)若BM ∥平面AEF ，判断BM 与EF 的位置关系，说明理由；并求BM 与EF 所成的角的余弦值．

解：(1)法一：如图所示，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM

⊥AC 于点M .

因为侧棱A 1A ⊥底面ABC ，

所以侧面A 1ACC 1⊥底面ABC .

又因为EC ＝2FB ＝2，

所以OM ∥FB ∥EC 且OM ＝12

EC ＝FB ， 所以四边形OMBF 为矩形，BM ∥OF .

因为OF ⊂平面AEF ，BM ⊄平面AEF ，

故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．

法二：如图所示，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ ，PB ，

BQ .

因为EC ＝2FB ＝2，

所以PE 綊BF ，

所以PQ ∥AE ，PB ∥EF ，

所以PQ ∥平面AFE ，PB ∥平面AEF ，