第4页 共6页 ＝1，ME ＝1，MN ＝2，故cos

∠MNE ＝NE 2＋MN 2－ME 22NE ·MN ＝22

. 答案：22

8．如图，在三棱锥A -BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________．

解析：如图所示，连接DN ，取线段DN 的中点K ，连接MK ，

CK .∵M 为AD 的中点，∴MK ∥AN ，∴∠KMC (或其补角)为异面直

线AN ，CM 所成的角．∵AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，N

为BC 的中点，由勾股定理易求得AN ＝DN ＝CM ＝22，∴MK ＝ 2.

在Rt △CKN 中，CK ＝ (2)2＋12＝ 3.在△CKM 中，由余弦定理，得cos ∠KMC ＝(2)2＋(22)2－(3)22×2×22

＝78，所以异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是78. 答案：78

[大题综合练——迁移贯通]

1.如图所示，A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，

AD

的中点．

(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；

(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．

解：(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A ，B ，C ，D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．

(2)取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则AC ∥FG ，EG ∥BD ，

所以相交直线EF 与EG 所成的角，

即为异面直线EF 与BD 所成的角．

又因为AC ⊥BD ，则FG ⊥EG .

在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12

AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.

2.如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知