二次函数与几何综合类存在性问题

探究四 二次函数与圆的结合

例4 如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为(4，0)，B点坐标为(－1，

0)，以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的正半轴交于点C. (1)求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；

(2)设M为(1)中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式； (3)试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．

二次函数与几何综合类存在性问题

巩固练习

1、如图已知直线y=－2x+12分别与y轴、x 轴交与A、B两点,点M在y轴上,以点M为圆

心的⊙ M与直线AB相切于点D,连结MD

(1).求证: △ AMD ∽△ AOB

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(2).如果⊙M的半径为25,请求出点M的坐标,并写出以( ,)为顶点,且过点

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M的抛物线的解析式

(3). 在(2)的条件下,试问在此抛物线上是否存在点P,使得以P、A、M三点为顶点的三角形与 △ AOB相似？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由。

二次函数与几何综合类存在性问题

2、如图，过A（8，0）、B（0，y 3x交于点C．平行于y轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止；l分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S，直线l

的运动时间为t（秒）．

（1）直接写出C点坐标和t的取值范围； （2）求S与t的函数关系式； （3）设直线l与x轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形

为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

备用图1