第４期李玉博：交织法构造移位不等价的ＺＣＩＪＬＣＺ序列集

法要求基序列长度ｍ满足ｎｍ，这意味着长度为素数的完备序列是不满足要求的．完备序列存在是很有限的，这一条件使得可以应用的完备序列更加稀少．例如三元情况下，长度在１００以内，只存在长度为７，１３，２ｌ，３１，５７，７３的完备序列，其中只有长度为２１的序列满足要求．这样大大限制了交织法的应用范围．本文方法可以利用任意长度的完备序列来构造相互正交零相关区序列集．

２基本概念

设ｕ是一个复数序列集，序列个数为肘，序列周期为，表示为Ｕ＝｛ｕｏ，ｕｌ，…，晰一ｌ｝，其中扯产（ｕｌ，０＇ｕｉ．１＇

…，Ｕｉ，Ｎ－１），ｌ嘶，ｊＩ－１．

定义１设ｕｌ，ｕ，∈Ｕ，序列Ｍ￡和Ｉｌ，的周期互相关函数定义如下：

强

Ｒ…（ｒ）＝∑峨，。Ｕｊ。，ｍ

（１）

’。

ｔ＝０

其中０≤ｒ＜Ｊ７ｖ，Ｕｊ‘，。＋，表示取共轭．当ｉ＝，时，称为序列“ｆ的自相关函数，可以用尺。（ｒ）表示．兄（０）称为同相自相关函数，若ｒ≠０，见（ｒ）称为异相自相关函数．

定义２设“ｉ，ｕｉＥＵ，若当ＩｒＩ＜Ｔ且ｉ≠，或者０

＜Ｉ

ｒ

ｌ＜Ｔ且ｉ＝ｉ时，序列相关函数都满足

ｌ见．一．（ｒ）Ｉ≤艿

（２）

其中，占为一个与序列周期Ⅳ相比很小的正数，则称序列集ｕ是一个低相关区（ＬＣＺ）序列集，表示为ＬＥｇ（Ｎ，Ｍ，７１，占）．若艿＝０，则称为零相关区（ｚｃｇ）序列集．表示为ＺＣＺ（ＪＪ＼，，Ｍ，Ｔ）．

定义３设口＝（ｎｏ，ｏｌ＇．”，ｎⅣ一１）是一个周期为Ⅳ的序列，如果序列自相关函数满足当ｒ≠０（ｍｏｄⅣ）时，吃（ｒ）＝一１，则称序列ａ为理想的自相关二值序列．如果ｒ≠０（ｍｏｄＮ）时，吃（ｒ）＝０，则称序列ｎ为完备序列．

定义４设口＝（ｎｏ，口ｌ，…，蛳一１）和６＝（６０，６１，…，６『ｖ—１）是两个周期为Ⅳ的序列，如果对于０≤ｉ≤Ｎ一１，０≤ｒ≤Ⅳ一１有啦＝６ｆ＋。成立，则称序列口和６移位等价，否则称为移位不等价．若两序列集Ａ和Ｂ中序列都是移位不等价的，则称序列集Ａ和Ｂ是移位不等价序列集．

定义５设口＝（口ｏ，口Ｉ，口２，…，口Ⅳ一１）是一个周期为Ⅳ的序列，吼＝（８加，８ｉ’１）是长度为２的序列，其中ｅｆ＇０，ｅｉ’ｌ∈｛０，１，２，…，Ⅳ一１｝，构造一个Ｎ×２阶的矩阵如

下：

口０＋气．ｏ

口０＋气．Ｉ

Ｕ＝

口ｌ＋巳．ｏ口１＋ｅＩ．Ｉ

（３）

口Ｎ－１¨ｉ．ｏ

口＾．一１＋ｅ

将矩阵配的每行联接得到序列地＝（口ｏ＋。。，‰＋。．，…，Ⅱ，ｖ一１＋。．，ｎ』ｖ—ｌ。．），将其表示为地＝，（．ｓ１．。（ｎ），Ｊｓ８“（口）），其中，（ ）表示交织操作，ｓ是向左循环移位运算，例如，Ｓｉ（ｏ）＝（吼，啦＋１＇－“，口ｉ—１）．序列“ｉ称为交织序列，序列。和ｅ产（ｅｍ，ｅ¨）分别称为交织序列ｕ；的基序列和移位序列．

对于同一基序列口，两个不同的移位序列ｅ产

（ｅｉ＇ｏ’ｅｆ。１）和勺＝（８ｊ＇０，。¨）可能产生两个移位等价的交织序列．因此，有必要定义移位序列不等价的概念．

定义６

设Ｍ＝，（９ｍ（ｎ），∞．ｔ（ｎ））和秒＝

，（ｓｏ．ｏ（ｎ），鄂，－（ｎ））是基序列为口的两个交织序列，分别对应着移位序列ｑ＝（色＇０，ｅｉ，１）和８『－（８ｊ．ｏ’８ｆ，１），若序列ｕ和”移位不等价，则称移位序列ｅｆ和ｅ，是不等价的，否则就是等价的．

定义７

设两个序列集Ｕ＝｛地｝ｏ≤ｉ≤Ｍ一１和Ｖ＝

ｈ｝ｏ≤ｉ≤＾，一ｌ，设Ⅱｉ和％分别是序列集ｕ和Ｖ中的任意序列，如果序列ｕ‘和钞ｆ互相关函数满足

凡．。（０）＝０

（４）

Ｊ

则称序列集￡，和ｙ是相互正交的．

引理ｌ…

设“＝，（Ｓｅ，．ｏ（口），士舒． （口））和秒＝

，（ｓ＇．ｏ（ｎ），±翳．ｔ（口））是两个交织序列，基序列口长度为，ｖ，ｕ和口分别对应着移位序列ｅ产（。ｆ’０，８ｉ＇１）和ｅ『＝（勺．ｏ，８ｆ，１），定义四个参数ｄｏ＝ｅｆ，ｏ一勺，０，ｄｌ－ｅｉ，ｌ一勺．１ｄ２＝ｅｆ，ｏ一８ｆ．１，和ｄ３＝ｅｉ，１—８，。ｏ一１．都是模Ⅳ运算．若移位序列满足ｅｉ≠岛时，ｄｏ≠ｄｌ且ｄ２≠ｄ３，则序列“和移移位不等价．

３

ＺＣＺ／ＬＣＺ序列集的交织构造法

首先构造移位序列集合Ｅ＝｝８０，ｅｌ＇ｌ一，嘶一ｌ｝，ｅ产

（ｅｆ．０＇ｅ¨），其中，ｅｉ’０’ｅｉ，ｌ∈｛０，１，…，Ｊ『＼，一１｝．设￡为正整数，２＜Ｌ＜Ｎ，对于任意岛，ｅｉＥＥ满足如下两个条件：

①ｍｉｎ｛如，ｄ１）≥寺，ｒ１１ｉｎ｛ｄ２，ｄ３）≥掣．

②ｅｆ，ｅ『∈Ｅ，ｅｉ≠勺时，有ｄｏ≠ｄｌ且ｄ２≠ｄ３．

然后选取具有低自相关特性的序列口做基序列，其异相自相关函数值最大值设为艿．利用基序列口和移位序列集合Ｅ交织构造序列集合：

Ｕｌ＝｛ｕｉｏ≤ｉ≤Ｍ一１｝，Ｕ２＝｛ｕｌ＋｜｜Ｉｆ０≤ｉ≤Ｍ一１ｆ，

“ｉ＝，（｜ｓ。ｍ（ｎ），舒． （口）），

ｕｉ＋Ｍ＝，（ｙｍ（口），一舒．ｔ（口））．

将序列集合ｕ，和如合并得到更大的序列集Ｕ＝ＵｌＵ

％．

引理２１１】上述交织构造法得到的序列集Ｕ为低

相关区序列集，表示为￡ＣＺ（２Ｎ，２Ｍ，Ｌ，２Ｉ艿Ｉ），并且序