这表明两信号卷积的变换等于各自变换的乘积。在频谱关系上，一个输入信号的频谱Xa j ，经过滤波器的作用后，被变换成Ha j Xa j 的频谱。因此，根据不同的滤波要求来选定Ha j ，就可以得到不同类型的模拟滤波器。还可以看出，滤波器的滤波过程就是完成信号xa t 与它的单位冲激函数响应ha t 之间的数学卷积运算过程。

2.3.3数字滤波器的工作原理

在数字滤波中，我们主要讨论离散时间序列。如图1.2所示。设输入序列为x n ，离散或数字滤波器对单位抽样序列 n 的响应为h n 。因 n 在时域离散信号和系统中所起的作用相当于单位冲激函数在时域连续信号和系统中所起的作用。

图1.2 数字滤波器原理

数字滤波器的序列y n 将是这两个序列的离散卷积，即

y n h k x n k （1.4）

k

同样，两个序列卷积的z变换等于个自z变换的乘积，即

Y z H z X z （1.5）

用z ej T代入上式，其中T为抽样周期，则得到

Yej T Hej TXej T （1.6）

式中X ej T 和 Y ej T 分别为数字滤波器输入序列和输出序列的频谱，而Hej T为单位抽样序列响应h n 的频谱。由此可见，输入序列的频谱Xej T经 过滤波后，变为H ej T X ej T ，按照X ej T 的特点和我们处理信号的目的，选取适当的H ej T 使的滤波后的H ej T X ej T 符合我们的要求。

2.4 滤波器的基本特性

2.4.1 模拟滤波器与数字滤波器的基本特性

如利用模拟电路直接对模拟信号进行处理则构成模拟滤波器，它是一个连续时间系统。如果利用离散时间系统对数字信号（时间离散、幅度量化的信号）进行滤波则构成数字滤波器。

数字滤波器的差分方程表示为：

y(n) b

i 1Nky(n i) akx(n k) k 0M

系统函数表示:

Y(z) X(z)H(z) az k

k

k 0M

1 biz i

i 1N

数字滤波器的特性通常用其频率响应函数H(ej )来描述， 包括幅度特性H(ej )和相位特性arg(H(ej ))。

按信号通过系统时的特性（主要是幅频特性）来分类：可以有低通、高通、带通和带阻四种基本类型。

（1） 低通数字滤波器：图1.3所示

j H(e) c H(e) 0 cj

-fs -fs/2 -fc csfs

图1.3 低通数字滤波器的频谱

（2） 高通数字滤波器：图1.4所示

j H(e) c

H(e) 0 cj