数字信号处理实验

实验二离散时间傅里叶变换

一、实验目的

理解数值计算在离散时间傅里叶变换（DTFT）中的作用。

二、实验原理

经由正、逆离散时间傅里叶变换表达的信号傅里叶表示式是信号分析的一个关键部分。下面方程分别是分析方程与综合方程：

X(e)

j

n

x[n]e

j n

(3.9)

x[n]

12

X(ej )ej nd

(3.10)

类似的，当LTI系统用于滤波的时候，作为冲激响应离散时间傅里叶变换的频率响应，提供了LTI系统简洁的描述。离散时间傅里叶变换X(e)是 的周期复值函数，周期总是

j

2 ，并且基周期通常选在区间[ , )上。

应用MATLAB时需注意： 1、DTFT的定义对无限长信号有效，但当能从变换定义式推导出解析式并只是计算它时，则可以使用MATLAB计算；

2、MATLAB擅长在有线网格点上计算DTFT，通常在[ , )上选择一组均匀隔开的频率，或者对共轭对称变换选择[0, ]区间，这样(3.9)式变为

j k

j2 k/N

X(e) X(e

) x[n]e j(2 k/N)n,k 0,1, N 1

n 0

L 1

(3.11)

DTFT的周期性意味着在 0区间上的数值是对那些k N/2的数值。因为上式是在有限数量的频率点 k 2 k/N处计算，并在有限区间内求和，因此它是可计算的。由于信号长度必须是有限的(0 n L)，这个求和式不适用于x[n] au[n]的情形。若不考虑DFT的物理性质，而只着重于计算DTFT的样本，可计算的上式恰是N点DTFT的离散傅里叶变换（DFT）。 在正确应用FFT计算N点DFT之前，需要对x[n]进行时间混叠，因而此时应确保N L。

n

三、实验内容

1、脉冲信号的DTFT

设矩形脉冲r[n]由下式定义

1,r[n]

0

0 n L其他

（3.12）

a.证明r[n]的DTFT可由下面的数学表示式得出