调和级数发散性的多种证明(9)

11131 ； 891093

1

1111111 234567n

1111111

1 1

234567n

111111

2 ( ) ( )

23456711

2 1 .

23

111

所以 1 是无穷数.

23n

1

所以调和级数 发散.

n 1n

13证法十三：任意给定M 0，总可以找到一有理数 M，而任何正有

理数可写成互异的形如

1p的数有限和（见文献[9]），其中m为自然数，为互异mq

p

q

的形如

1p

的数有限和，假定最大的分母为N，则有sN M,当n N时，具mq

有sn M，也就是limsn ，所以调和级数

n

1

发散. nn 1

以下是由作者用有关定理或方法独立导出的证法 14证法十四：利用拉阿伯判别法：若

'

'

u

n 1

n

是正项级数，

unun

有n(，则级数 un收敛（发 1) r1 （n( 1) 1） N , n N，

un 1un 1n 1

散）.

在调和级数

1

中， n ,均有 nn 1