调和级数发散性的多种证明(2)

11111111

1 所以 sn 1 .

22334nn 1n 1

1

sn lim . )1则 s limn n n 1111

接着设 A ，

23n

则 A

123

26124n ； 20nn (1)

C

11111

1； 261220n(n 1)

D

111111 C ； 61220n(n 1)22111111 D ； 122030n(n 1)63111111 E ； 203042n(n 1)124

E

F

G

111111 F 304256n(n 1)205；

1234511

C D E F G 1

. 2612203023

即 A A 1.

没有一个有限数会大于等于自己，即A是无穷大，所以调和级数发散.

由上可知，伯努利是以一种“整体论”的态度来对待无穷级数的，他证明调和级数发散的方法与现代方法形成了鲜明的对比。伯努利作出这一论证之后的150年，才有真正的级数理论出现。他用简明的A A 1来证明级数的无穷性，这是证明量的无穷性的一个最独特的方法。 而今，随着级数理论的不断完善，我们可以应用更多更精彩的方法证明调和级数的发散性。例如：利用欧拉常数，级数与广义积分敛散性的关系，级数及数列敛散性的定义和性质，级数敛散性的各种判别法，均值不等式等。在级数敛散性的讨论中，调和级数的应用很广泛。了解这些证明方法，对级数敛散性的学习和研究是有益的，特别在其证明方面能起到举一反三，融会贯通的作用。

本文给出了调和级数发散性的18种证明方法。其中前13种散见于各种资料，笔者进行了整理，有的采用与原证不同的叙述，比原证更具体明了；后5种是笔者用有关定理或方法导出的。

1证法一：利用反证法.