调和级数发散性的多种证明(10)

1

un 1(nn 1) n( 1) n( 1) 1，

un 1nn 1

所以调和级数

1

发散. n 1n

15证法十五：应用厄耳玛可夫判别法：若f(x)为单调减少的正值函

exf(ex)

数，且lim ，则当 1时，级数 f(n)收敛；当 1时，x f(x)n 1

级数 f(n)发散.

n 1

令f(x)

1

，则 x

1exx

ef(e) limx ， lim limx x x 1f(x)

x

x

x

1111

故级数 f(n) 1 发散.

23nn 1n 1n

证法十六：应用高斯判别法：在级数 an中，若an 0(n 1,2,3, )及

n 1

an n

级数收敛；(2) 1时级 1 (| n| C, 0),则 (1)当 1时，

an 1nn

数发散；(3)当 1时，若 1则级数收敛，若 1则级数发散.

1

1an 11

在调和级数中，n 1 ，

1an 1nnn 1n

n 1

据高斯判别法知，调和级数

1

发散. n 1n

17证法十七：设an 0,sn a1 a2 an,级数 an ,则

n 1

an

发散. n 1sn