调和级数发散性的多种证明(5)

1， n

ln 1，1从而有 ln2

1

ln3 ln2 ，

2

1

ln(n 1) lnn ，

n

上述n个不等式两边相加得

111

ln(n 1) 1 ，

23n

11111

lnn( 1 . 0于是 an 1 1

23nn 1n 1

11

ln(1 )，有 即 an 有下界.其次 应用不等式

n 1n

111

an an 1 ln(n 1) lnn ln(1 ) 0.

n 1nn 1( 1 )nl n所以 lnn

故 an 有是一个单调下降的数列，因此liman存在，用C表示，即

n

111

lnn) C.

n 23n111

n C n(l inm 也就是 1 ln

n 23n

lim(1

sn limn( lnC n ). 显然 lim

n

n

. 0)

故调和级数

1

发散. nn 1

n

6证法六：应用级数 an（其中a1 a2 an 0）与级数 2na2

n 1

n 1

有相同的收敛性. 取 an

1

而级数 2a2n 2n 1 发散.

2n 1n 1n 1

n

n

1111(n 1,2 , )， 1 0. n23n

故调和级数

1

发散. nn 1

7证法七：利用广义积分法.