调和级数发散性的多种证明(3)

11

假设调和级数 收敛，记其和为S，即S= ，

n 1nn 1n

由于正项级数若收敛，加括号后仍收敛，且和不变，可知：

S=

11111

=1+ 232n 12nn 1n

11111

) =（1+) ( ) (

2342n 12n11111

（1+) ( ) ( )

2442n2n111

(1 ) 22n1

S 21

S S

2

从而 0

1

矛盾，所以调和级数必发散. 2

2证法二：证明调和级数 的部分和可任意大.

1

依次将 九项，九十项，九百项， 括在一起得

n 1n

111

23n

11111111 (1 ) ( ) ( )

29101199100101999

1

1

n 1n

111111111 ( ) ( ) ( ) 101010100100100100010001000

9

90

900

990900 101001000999

101010

11

从上式中可以看出 的和可任意大，故级数 发散.

n 1nn 1n

3证法三：利用柯西收敛准则证明部分和数列 sn 发散.