调和级数发散性的多种证明

调和级数发散性的证明方法

姓名：范璐婵

摘 要：本文给出了调和级数发散性的18种证明方法。其中前13种散见于各种资料，笔者进行了整理，有的采用与原证不同的叙述，比原证更具体明了；后5种是笔者用有关定理或方法导出的。

关键词：调和级数 发散性 部分和 收敛

Proofs of the divergency of harmonic series

Name: Fan Luchan Director: Wang Yingqian

Abstract: Eighteen methods to prove the divergency of harmonic series are presented in this paper.Some are known and some are new.

Key words: harmonic series; divergency; partial sum; convergency

引言

1

调和级数 的发散性最早是由法国学者尼古拉奥雷姆（1323——1382）在

n 1n

极限概念被完全理解之前的400年证明的。他的方法很简单：

1111111

1

11

级数的括号中的数值和都为，这样的有无穷多个，所以后一个级数是趋向无

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穷大的，进而调和级数也是发散的。

后来，大数学家约翰伯努利也作出了经典的证明。他的证明是以莱布尼茨的收

1111

1为基础的。以下是他的证明。 敛级数

2612n(n 1)

证明：

11111111111

1 ， ， ， 226231234n(n 1)nn 1