调和级数发散性的多种证明(11)

以下是这个命题的证明： 因为 an 0,sn单调增加，所以

ak

sn p snakk sn n 1

. 1 sn psn psn pk n 1sk

n p

n p

因为 sn ，故 n，当p 充分大时，有

sn1 ， sn p2

从而

ak11 1 ， s22k n 1k

an

发散. n 1sn

n p

所以

,， 令 an 1, n 1,2

则 sn 1 1 1 n，

a

所以 n=

n 1sn

1

发散 . n 1n

lnn

( 1)

18证法十八：利用

nn 1

( 1)

记an

n

lnn

的发散性.

，为研究级数 an的敛散性，

n 1

我们引进集合Ak n| lnn k k (1,2, ). 那么集合Ak内的元素n具有性质

k lnn k 1

ek 或写成 ek n e

k

(e 1)e其个数pk ，将Ak内的元素从小到大排列，可记为

nk,nk 1, ,nk pk 1.

现考虑 uk

n Ak

a

n

n Ak

( 1)

n

lnn