随堂测验

y

A(B )(C arctan) 0(1)式 23

x

(2)式. 得到 A(B arctan)(C ) 0

22

A(B )(C ) 1(3)式 22

由(3)式可知，A 0. 又因为F( , ) 1, 所以

F(x,y) A(B arctan

故B arctan

x2

)(C arctan

y3

) 0

1

．

x2

0并且C arctan1(

y3

（２）式可知B C 0. 则又（１）

2

,A

2

因此F(x,y)

)．

3

法二：利用一维随机变量的分布函数的性质F( ) 0,F( ) 1来做：

2

2

arctan

x

2

)(

2

arctan

y

因为边缘分布

FX(x) F(x, ) limF(x,y) A(B arctan

y

x2

)(C

2y3

) )

FY(y) F( ,y) limF(x,y) A(B

x

2

)(C arctan

作为一维随机变量的分布函数是满足上述性质的，故

1 FX( ) limF(x, ) limA(B arctan

x

x y

x2x

)(C arctan

y3y3y3

) A(B

2

)(C

2

)

0 FX( ) limF(x, ) limA(B arctan

x

x y

2x2

)(C arctan) A(B

2

)(C

2

)

0 FY( ) limF( ,y) limA(B arctan

y

x y

)(C arctan) A(B

2

)(C

2

)

解此方程组得到B C (2)

2

,A

1

2

.

2

f(x,y)

12

2

2

F(x,y) x y

x2

1

2

(

2

arctan)(

2

arctan

y3

)

x y

1

2

(

2

arctan

y3

)

1

x

1

2

2

1

2

y

11

6

x

2

11

y

2

13

4)(9

9).

2

(4 x

2

y

2

(3)要判断独立性，就要先求边缘分布；

法一：因为此题给出的条件是分布函数，所以这里我们先求X和Y的边缘分布函数. 根据分布函数的定义，我们有

FX(x) F(x, ) limF(x,y) A(B arctan

1 x( arctan)

y 22 22

y1 y

FY(y) F( ,y) limF(x,y) A(B )(C arctan) ( arctan)

x 23 23

x)(C

)

5