随堂测验

①写定义：fY(y)

f(x,y)dx

0y 1

____,

②定区间：

0,其它

y8xydx,

③化积分： 0

0,其它

0 y 1

4y3,0 y 1

④求积分： .

0,其它

4. （10分）设X U(1,2),求Y e

2X

的概率密度函数.

1,1 x 2

. 解：因为X U(1,2),所以有fX(x)

0,其它

因为函数y e

2x

是严格单调函数，所以可以利用书中第52页定理直接求Y的密度函数.

2x

h(y)

12

lny是y e的原函数，且

2

4

2

4

当1 x 2时,则有e y e,即定理中的 e, eh(y)

所以fX(h(y)) 1. 又注意到h'(y)

12

lny (1,2)

12y

，

124

,e y e|h'(y)|, y fX(h(y))·

所以由定理可知fY(y) 2y

0,其它 0,其它

（10分）已知(X, Y)的概率密度为

1

(x y),0 y x 1

f(x,y) 8

0,其它

求P{X Y 1}.

解：本题所求的是二维随机变量(X, Y)落在某区域中的概率，则

P{X Y 1}

G

f(x,y)dxdy

现要将此二重积分化成累次积分，则要确定这个区域G (x,y)|x y 1 与f(x,y) 0的区域的交集，如下图所示

1

1 yy

故P{X Y 1}

G

f(x,y)dxdy

20dy

18

(x y)dx

148y3

.

四. 选做题(10分,100分以外)

设(X, Y)的分布函数为F(x,y) A(B arctan

x2

)(C arctan),

求(1) A,B,C; (2)f(x,y); (3)X和Y是否相互独立？ 解：(1)法一：利用二维随机变量的分布函数的性质：

F( ,y) 0,F(x, ) 0,F( , ) 1

4