不等式

一．不等式的性质：

c b d1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若a 则a bc,d ，

（若a b,c d，则a c b d），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；

2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若a b 0,c d 0，则ac bd（若a b 0,0 c d，ab则 ）； cd

3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a b 0，则an

bn或

1111

4．若ab 0，a b，则 ；若ab 0，a b，则 。如

abab

（1）对于实数a,b,c中，给出下列命题： ①若a b,则ac2 bc2； ②若ac2 bc2,则a b；

11

③若a b 0,则a2 ab b2； ④若a b 0,则 ；

ab

ba

⑤若a b 0,则 ； ⑥若a b 0,a b；

ab

ab11

⑦若c a b 0,则； ⑧若a b, ，则a 0,b 0。 c ac bab

其中正确的命题是______

（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知 1 x y 1，1 x y 3，则3x y的取值范围是______

（答：1 3x y 7）；

c

（3）已知a b c，且a b c 0,则的取值范围是______

a

1

（答： 2, ）

2

二．不等式大小比较的常用方法：

1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；

5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；

8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如

1t 1

（1）设a 0且a 1,t 0，比较logat和loga的大小

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1t 1

（答：当a 1时，logat loga（t 1时取等号）；当0 a 1时，

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