11

解：（1）由抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点(,0)2

p F 在圆22:1O x y +=上得： 2

14

p =，2p ∴=，……………………………………………………..1分 ∴抛物线21:4C y x = …………..……………………………………….2分

同理由椭圆上、下焦点(0,),(0,)c c -及左、右顶点(,0),(,0)b b -均在圆22:1O x y +=

上可解得：1,b c a ==∴= …………4分 得椭圆2

2

2:12

y C x +=．……………………………………………..5分 （2）设直线AB 的方程为1122(1),(,),(,)y k x A x y B x y =-，则(0,)N k -． 联立方程组24(1)

y x y k x ⎧=⎨=-⎩，消去y 得：2222(24)0,k x k x k -++=…….6分 216160,k ∴∆=+>且212212

241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩ ……………………………..7分

由12,NA AF NB BF λλ==得：111222(1),(1),x x x x λλ-=-= 整理得：121212

,11x x x x λλ==-- ……………………………..…8分 22121212212122

24221241()11k x x x x k k x x x x k λλ+-+-∴+===-+-++-+．…………………..9分 （3）设(,),(,),(,)p p Q Q p Q p Q P x y Q x y S x x y y ∴++，则'(,0),'(,0)p Q P x Q x

由''10OP OQ OP OQ ⋅+⋅+=得21p Q p Q x x y y +=-…………① …….10分 2212p p y x +

=……………………② …………………………………….11分 2

212Q Q y x +=……………………③ ……………………………………12分

由①+②+③得2

2()()12

p Q p Q y y x x +++= …………….……...13分

∴(,)p Q p Q S x x y y ++满足椭圆2C 的方程，命题得证．……………....14分 21. （本小题满分14分） 【解】（1）当2t =时，2(),f x x x =+222

22()10x f x x x -'=-=> --------1分

解得(,(2,)x ∈-∞+∞.------------------------------------------2分 由0x >，所以函数

()f x 有单调递增区间为)+∞--------------3分

（2）设M ，N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，

2()1t f x x '=- 所以切线PM 的方程为：11211

()(1)().t t y x x x x x -+=-----------------4分