9

A C

D

1A 1B 1C

O

S 1S

1O

1C A

B C

D

1A

1B

H E A

B

C D

1A 1B 1C

O

151315151|()()(261

511

222=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）．…………………11分

所以75

38151258253)(210＝++=

++B A B A B A P ． …………………12分 所以第二次训练时恰好取到一个新球的概率为38

75

。

18.（本小题满分14分）

解：由三视图可知，几何体为直三棱柱ABC —111A B C ，侧面11B C CB 为边长为2的正方形，底面ABC 是等腰直角三角形，,2AB BC AB BC ⊥==……………2分 （1） 直三棱柱ABC —111A B C 中，1AA ⊥平面ABC ，

BD ⊂平面ABC ， 1AA BD ∴⊥，

2AB BC ==，D 为AC 的中点，

BD AC ∴⊥，

又1AA ⊂面11AAC C ，AC ⊂面11AAC C ，

且1

AA AC A =

， BD ∴⊥平面11AAC C ，又

1

AC ⊂面11AAC C ， 1BD AC ∴⊥①………..6分 又1111111,A B B C A B B B ⊥⊥，

又1BB ⊂面11BB C C ，11B C ⊂面11BB C C ，且1BB 11B C B =， 11A B ∴⊥面11BB C C ，BC ⊂面11BB C C ，11A B ∴⊥1BC 在正方形11BB C C 中，11BC B C ⊥

又1BC ⊂面11A B C ，11B A ⊂面11A B C ，且1B C

111B A B =， 1BC ∴⊥面11A B C ，又1

AC ⊂面11A B C ，1BC ∴⊥1AC ②………………..8分 由①②，又BD ⊂面1BDC ，1BC ⊂面1BDC ，且BD 1BC B =， 1AC ∴⊥面1BDC . …………………………………………………………9分 （2）解法一（空间向量法）以1B 为原点建系，易得1(2,2,0),(1,0,1)CB BD =-= 设平面1BC D 的法向量1(,,),n x y z =由111,n CB n BD ⊥⊥， 得220

0x y x z -+=⎧⎨

+=⎩

令1x =，得1(1,1,1),n =-…………..12分

又平面1BC A 的法向量21

(2,2,0),n BC ==设二面角 1A BC D --的平面角为θ，

所以126cos cos ,tan n n θθ=<>=∴=

…………..14分 解法二：所求二面角1A BC D --与二面角1C BC D --互余， 取BC 中点H ，有DH ⊥平面1BCC ，过H 作1BC 垂线， 垂足为E ， 1111111

DH BC DH BCC BC EDH EH BC BC BCC DE EDH DH EH H DE BC ⊥⎫

⊥⊂⎫⎫⎪⇒⊥⇒⎬⎬⎬

⊂⊂⎭⎭⎪=⎭

⇒⊥平面平面平面平面

⊥