高等代数课程设计,

运用矩阵解线性方程组

6

其系数矩阵和增广矩阵分别为

引入向量

于是线性方程组（1）可以改写成向量方程

x

1

α

1

+x

2

α

2

+…+x

n

α

n

=β

显然，线性方程组（1）有解的充分必要条件为向量β可以表示成α

1

，α

2

，…，α

n 的线性组合。用秩的概念，方程组（1）有解的条件可由以下证明的证

先证必要性。设线性方程组有解，就是说，β可由向量组α

1

，α

2

，…，α

n

线性表

出。由此可推出，向量组α

1

，α

2

，…，α

n

与向量组等价，因而它们有相同的秩。这两个向量组分别是系数矩阵和增广矩阵的列向量。因此，系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。

再证充分性。设其系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，就是说，他们的列向量组α1，α2，…，αn与α1，α2，…，αn，β有相同的秩，令它们的秩为r。α1，α2，…，αn中的极大线性无关组是由r个向量组成，不妨设α1，α2，…，αr是它的一个极

大线性无关组。显然，α

1

，α

2

，…，α

r

也是的一个极大线性无关组，因此向量β

可由α

1

，α

2

，…，α

r

线性表出。既然它可以经线性表出。因此，方程组（1）有解。

8.线性无关组解的结构（解不唯一的情况下）

定理四：对于一齐次线性方程组它的解有下面两个性质：

（1）两个解的和还是线性方程组的解

（2）一个解的倍数还是方程组的解

（3）解之间的线性组合得到的仍然是方程组的解

证明（1）：

设（k

1

,k

2

,…,k

n

）与（l

1

,l

2

,…,l

n

）是方程组的两个解。也就是说，把它们代入方程组每个方程组成恒等式，即

a

i1

k

1

+a

i2

k

2

+…a

in

k

n

=0, i=1,2,…,s

a

i1

l

1

+a

i2

l

2

+…a

in

l

n

=0, i=1,2,…,s

把两个解的和代入方程组得

A

i1

(k

1

+l

1

)+a

i2

(k

2

+l

2

)+…a

in

(k

n

+l

n

)=0+0=0, i=1,2,…,s