高等代数课程设计,

运用矩阵解线性方程组

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证明：显然，方程组在化成阶梯型方程组之后，方程组的个数不会超过原方程的个数，即r ≤s<n

由r<n 得知，它的解不是唯一的，因而必有非零解。

4.线性相关性

定义一：向量α称为向量组β1，β2，…，βs 的一个线性组合，如果有数域P 中的数k 1,k 2,…,k s ,使得α=k 1β1+k 2β2+…+k s βs

定义二：α可以经向量组β1，β2，…，βs 线性表出，如果α是向量组β1，β2，…，βs 的一个线性组合时。

定义三：如果向量组α1，α2，…，αt 中的每一个元素αi （i=1，2，…，t ）都可以经向量组β1，β2，…，βs 线性表出，那么向量组α1，α2，…，αt 就成为可以经向量组β1，β2，…，βs 线性表出。如果两个向量组可以互相线性表出，它们就称为等价。

定义四：如果向量组α1，α2，…，αs （s ≥2）中有一个向量可以由其余的向量线性表出，那么向量组α1，α2，…，αs 称为线性相关。

定义四’:向量组α1，α2，…，αs （s ≥1）称为线性相关，如果有数域P 中不全为零的数k 1,k 2,…,k s ，使k 1β1+k 2β2+…+k s βs =0

定义五：一组向量组α1，α2，…，αs （s ≥1）不线性相关，即没有不全为零的数k 1,k 2,…,k s ，使k 1β1+k 2β2+…+k s βs =0 就称为线性无关，

或者说，一向量组α1，α2，…，αs 线性无关，如果由k 1β1+k 2β2+…+k s βs =0 可以推出： K1=k2=…=ks=0

5.用齐次线性方程组判断向量组是否线性相关

一般地，要判断一个向量组αi =（a i1,a i2,…a in ）,i=1,2,…,s 是否线性相关，根据定义四’就是看方程

x 1α1+x 2α2+…+x s αs =0 （4）

有无非零解。（4）式按分量写出来就是

因此，向量组α1，α2，…，αs 线性无关的充分必要条件是其齐次线性方程组只有零解。

6.向量组的秩

定义六：一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添加一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关。 定义七：向量组的极大线性无关组所含的向量组的个数就是这个向量组的秩。 定理一：设α1，α2，…，αr 与β1，β2，…，βs 是两个向量组，如果 （1） 向量组α1，α2，…，αr 可以经β1，β2，…，βs 线性表出