高等代数课程设计,

运用矩阵解线性方程组

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（2） r>s

那么向量组α

1

，α

2

，…，α

r

必线性相关。

证明：由（1）有

要证明α1，α2，…，αr线性相关，只要证明可以找到不全为零的k1,k2,…,k r,使

K

1

α

1

+k

2

α

2

+…+k

r

α

r

=0

为此，作线性组合

如果我们能找到不全为零的数x

1

,x

2

,…,x

r

,使β

1

，β

2

，…，β

s

的系数全为零，那就

证明了α

1

，α

2

，…，α

r

线性相关性。这一点是能做到的，即r>s齐次方程组

其中未知量的个数大于方程组的个数，故它有非零解。

推论一：如果向量组α

1

，α

2

，…，α

r

可以经向量组β

1

，β

2

，…，β

s

线性表出，且α1，α2，…，αr线性无关，那么r≤s

推论二：任何n+1个n维向量必线性相关。

推论三：两个线性无关的等价向量组必含有相同个数的向量。

定理二：对于n个n维向量，α

i

=（a

i1

,a

i2

,…a

in

）,i=1,2,…,s

将其用一个齐次方程组表示，将其系数矩阵做行列式可得

线性相关

系数矩阵为零，方程组有非零解，则这n个向量（列向量）线性相关，

系数矩阵不为零，方程组只有零解，则这n个向量（列向量）线性无关

由克拉默法则及其逆定理得，非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是它的系数矩阵的行列式不等于0.

7.线性方程组有解判别定理

定理三：（线性方程组有解判别定理）线性方程组（1）有解的充分必要条件为它的系数矩阵与增光矩阵有相同的秩。

证明：

先设处线性方程组为