微分中值定理与导数的应用习题课(4)

工科数学分析,大学课程

nn n f(),而f()= n+1n+1 n+1

nxn(1 x)<n+1<11n,因此,当0<x<1时, )f(x≤f()<,即 een+111. .综上所述, 当0<x<1时，xn(1 x)<e(ne)(四)利用凹凸性的定义证明不等式

8.证明不等式:对一切x>0,y>0,x≠y的实数,

xlnx+ylny>(x+y)lnx+y 2

证明:令f(x)=xlnx,则其定义域为(0,+∞),且由于

f′(x)=1+lnx, f′′(x)=1>0,x∈(0,+∞) x

因此,由凹凸性的判定定理知, f(x)在(0,+∞)上的图形是凹的.于是,由凹凸性的定义知,对一切实数x,y∈(0,+∞),且x≠y,恒有

f(x)+f(y)x+y>f() 22

xlnx+ylnyx+yx+y)ln即 >( 222

因此, 对一切x>0,y>0,x≠y的实数,

xlnx+ylny>(x+y)lnx+y. 2