微分中值定理与导数的应用习题课(3)

工科数学分析,大学课程

g′(x)=sec2x 1=tan2x>0,(0<x<π

2)

由单调性定理知: g(x)在(0,)内单调递增.即当0<x<时,有g(x)>g(0)=0 22

又当0<x<πππ

2时,有(tanx+x)>0,因此, 当0<x<π

2时,有f′(x)>0.由单调性定理

知: f(x)在(0,)内单调递增.因此,当0<x<时,f(x)>f(0)=0.即当22ππ

0<x<π

2时,有

1 tanx>x+x3 3

(三)利用极值的唯一性证明不等式

6.证明不等式: 当x> 1时,ex≥1+ln(1+x)

证明:令f(x)=ex 1 ln(1+x),则其定义域为( 1,+∞).又由于

f′(x)=ex

f′′(x)=ex+1 1+x1>0,x∈( 1,+∞) 2(1+x)

因此, 由单调性定理知: f′(x)在( 1,+∞)内严格单调递增.

令f′(x)=0,可得f(x)的唯一驻点x=0.又由于f′′(0)=e+1>0,因此,函数

f(x)在x=0处取得唯一极小值f(0)且f(0)=0.因而,对一切x∈( 1,+∞),f(x)≥0.即 当x> 1时,ex≥1+ln(1+x).

7.设n为自然数,0<x<1,求证：xn(1 x)<1 (ne)

证明:令f(x)=nxn(1 x),则函数f(x)的导函数为

f′(x)=nxn 1[n (n+1)x]

于是,令f′(x)=0可得:唯一驻点x=nn∈(0,1),由单调性定理知:当0<x<n+1n+1

nn时, f′(x)>0即f(x)在(0,)内严格单调递增; 当<x<1时, f′(x)<0即n+1n+1

nnf(x)在(,1)内严格单调递减.因此, f(x)在x=处取得唯一极大值n+1n+1