微分中值定理与导数的应用习题课(2)

工科数学分析,大学课程

3.设f′′(x)<0,f(0)=0,证明:对任何x>0,y>0,有

f(x+y)<f(x)+f(y)

证明:不妨设0<x≤y,则由于f′′(x)<0,f(0)=0,因此,由Lagrange中值定理得:

f(x) f(0)=f′(ξ1)x,(0<ξ1<x) f(x+y) f(y)=f′(ξ2)x,(y<ξ2<x+y)

即 f(x+y) f(x) f(y)=x[f′(ξ2) f′(ξ1)],(0<ξ1<x≤y<ξ2<x+y). 再次利用Lagrange中值定理得,

f′(ξ2) f′(ξ1)=f′′(ξ)(ξ2 ξ1),其中ξ1<ξ<ξ2

因此, 有 f(x+y) f(x) f(y)=x[f′(ξ2) f′(ξ1)]=xf′′(ξ)(ξ2 ξ1) 现在,x>0,(ξ2 ξ1)>0,f′′(ξ)<0,于是,有f(x+y) f(x) f(y)<0,即

f(x+y)<f(x)+f(y)

(二)利用单调性定理证明不等式

114. 证明不等式: ln(1+)>,(0<x<+∞) x1+x

11证明:令f(x)=ln(1+) ,则由于函数f(x)的导函数为 x1+x

f′(x)=1111 += 221+xx(1+x)x(1+x)

因此,当0<x<+∞时,f′(x)<0.由单调性定理知: f(x)在(0,+∞)内单调递减. 又,limf(x)=0,因此, 当0<x<+∞时,有 f(x)>0 即有由单调性定理知: x→+∞

11>0 ln(1+) x1+x

11即 ln(1+)>,(0<x<+∞) x1+x

1时,tanx>x+x3 23

1证明:令f(x)=tanx (x+x3),则函数f(x)的导函数为 35.证明不等式: 当0<x<π

f′(x)=sec2x 1 x2=tan2x x2=(tanx+x)(tanx x)

又记g(x)=tanx x,则由于函数g(x)的导函数为