微分中值定理与导数的应用习题课

工科数学分析,大学课程

微分中值定理与导数的应用习题课

——不等式的证明概述

由于函数的导数能反映出函数值的变化快慢和变化趋势,因此它与函数值之间有着密切的关系。例如,微分中值定理﹑单调性定理﹑极值的讨论﹑凹凸性的判定等无不体现出这种关系。

(一) 利用微分中值定理证明不等式

1.设a>b>0,n>1. 试证明: nbn 1(a b)<an bn<nan 1(a b)

) =xn(n>1),则f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导.于是,由证明:令f(x

Lagrange中值定理知,至少存在一个ξ∈(b,a),使

f(a) f(b)=f′(ξ)(a b)

即 (an bn)=nξn 1(a b)

现在,n>1且b<ξ<a,因此,nbn 1<nξn 1<nan 1.于是,由上式即得

nbn 1(a b)<an bn<nan 1(a b)

2.证明不等式: arctanx arctany≤x y

证明:令f(t)=arctan(t),且不妨假定x>y,则函数f(t)在[y,x]上连续,在(y,x)上可导. 于是,由Lagrange中值定理知,至少存在一个ξ∈(y,x),使

f(x) f(y)=f′(ξ)(x y)

即 arctanx arctany=1(x y) 1+ξ2

现在,(x y)>0,且1≤1,因此, 21+ξ

arctanx arctany=1(x y)≤(x y) 1+ξ2

即 arctanx arctany≤(x y)

类似地,当x<y时,可以证明: arctany arctanx≤(y x)

综上所述,有 arctanx arctany≤x y