2012届高三第一次四校联考理科数学试卷(4)

∴{an}是以a1为首项,a1为公比的等比数列, ∴an a1n.

当a1 1时，an 1,Sn n,此时bn 2n 1,{bn}不是等比数列, ∴a1 1. ∵{bn}成等比数列, ∴b1,b2,b3成等比数列, ∴b22 b1b3. ∵b1

2S1 1 3,b2

∴原不等式成立 8分

.

(ii)由(i)知,对任意的x＞0,有 c1 c2 cn

211 x

1

1(1 x)

(22

(

23

x)

n

11 x

1

1(1 x)

(22

22(a1 a2)

1

2(a1 a1)

2

1

3a1 2, ( x)

1 x)=

2 nx) 9分

a1

a2

a21

a1

a2

3

2

a2

b1 a1 a1)

2a1 2

1 2 6a1 6

3

2(a

3 1

3a11

a

2, (

31

a)2

9a11

a

2

1

解得a11

3

. 5分

13

n

(2)在(1)的条件下, an

3n

,知cn

3n

2

0,

(i)

1 11 x

(1 x(

2

1

)

2

3

n

x)

1 x

1

2(1 x)

2

(

3

n

1 1 x)=

11 x

1(1 x)2

[

1c (1 x)]

1

1

2n

c

2

n(1 x)

1 x

=

1

(

1

2

cn1 x

cn) cn≤cn,

∴原不等式成立. 8分

解法二 (i)设f(x)

121 x

1,

(1 x)

2

(

3

n

x)2

(2

x) 2(1 x)2(

2

n

x)

则f'(x)

1 (1 x) (1 x)

2

n

(1 x)

4

=

(1 x)

3 6分 ∵x 0, 当x

2时3

n

，f'(x) 0;

当x 2时3

n

，f'(x) 0,

当x

2)取得最大值3

n

时，f(xf(

23

n

)

1 cn.

1

23

n

3

2

1 x

(1 x)

2

3

n1 x(1 x)

2

3

3

2

2

(1

1∴取x

1(

22n

3

3

2

23

n

)=

3

3n

)111

n

(1

n(1

3

n

), 3

)

则a1 a2 an

n

n

2

n

2

1

1n(1

1)

n 1

1n 1

.3

n

3

n

∴原不等式成立.

5

3

n

11分

14分