2014-2015学年高二数学(文)圆锥曲线试题 Word版含答(4)

22．已知点P(0，－1)是椭圆C：x2y2

11(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2ab＝4的直径.

(1)求椭圆C1的方程；

(2)如图1，过椭圆CPF|1的右焦点F作直线l|1交该椭圆右支于A,B两点，弦AB的垂直平分线交x轴于P，求|AB|

的值。

(3)如图2，若圆C2：x2＋y2＝4与y轴正半轴交于点Q，过点Q的直线l2交椭圆C1于M、N两点，求△OMQ

与△ONQ

x

x

解 (1)由题意得 b＝1，x22

所以椭圆C

a＝2.

1的方程为4y＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点D(x0，y0).设直线l1的方程为x＝my+3.（ 3 m ）

由 x my 消去x，整理得(m2 4)y2 23my 1 0， x2 4y2 4

则yy1 y2m430 2 m2

4，x0 my0 m2 4

所以，l1的垂直平分线的方程为：y y0 m(x x0)，即y

3mm2 4 m(x 4m2

4

) 令y=0，得x

33

m2 4

。即

P(3m2 4,0) 所以，|PF| 3m2 4 (m2 1)m2

4

又|MN| |MF| |NF| a ex2a e(x4(m2 1)

1 a ex2 1 x2)=m2 4

所以，

|PF||AB|

4

（3）设直线l 2

2的方程为y＝kx+2，由

y kx x2 4y2

4

消去y，得(4k2 1)x2 16kx 12 0

则 256k2 48(4k2 1) 0，所以，k2

34

。 设M(xS OMQ1，y1)，N(x2，y2)，则S

|MQ||NQ|

x1

x，由题，0 x1 1 ONQ

2

x2又，x 16k1 x2

4k2 1,x12

1x2 4k2

1

256k2

则(x1 x22)x1x2(4k2 64k2x 2 1)2

1x2x2x112 12k2 3

4k2 1

因为k2

3x1x24，所以64k2

12k2

3 (4,163)，所以2 10x 2x13

所以，

x1

x (5 22,1)

2

3S OMQ (

5 22S ONQ

3

,1)