2014-2015学年高二数学(文)圆锥曲线试题 Word版含答(3)

将其坐标记录于下表中：

(1)求C12(2)已知直线l过C2的焦点F并与C1交于不同的两点M，N，且满足OM

→

⊥ON→

.求直线l的方程.

解 (1)设抛物线Cy2

2：y2

＝2px(p≠0)x

＝2p(x≠0)，

据此验证四个点知(3，－3)，(4，－4)在C2上，易求得C2的标准方程为y2＝4x. x2y2设椭圆C2

4a＝11：a＋b＝1(a>b>0)，把点(－2,0)，2)代入得

2a1

2b

1

，

a2

＝4x2解得 2

b2＝1

，所以C1的标准方程为4y＝1.

(2)容易验证当直线l的斜率不存在时，不满足题意.当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)， x2

与C，y 1的交点为M(x11)，N(x2，y2).由 4＋y2＝1

消去y并整理得(1＋4k2

)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0，

y＝k x－1 ＋x8k2

于是x12＝1＋

① x4 k2－1

4k1x2＝1＋4k

②

2

2

1x2－(x1＋x2)＋1]＝k2

[4 k2－1 8k2所以y3k2

1y2＝k(x1－1)(x2－1)＝k[x1＋4k1＋4k＋1]＝－1＋4k③

由OM→⊥ON→，即OM→·ON→

＝0，得x4 k2－1 3k2k2－41x2＋y1y2＝0.(*)将②③代入(*)式，得1＋4k1＋4k＝1＋4k0，

解得k＝±2，所以存在直线l满足条件，且直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋y－2＝0.

21.如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为 10,0 ，点C的坐标为 0,10 ，分别将线段OA和

AB十等分，分点分别记为A1,A2, ,A9和B1,B2, ,B9，连接OB

i

，过A

i作轴的垂线与OBi交于点

Pi i N*,1 i 9 。

（1）求证：点Pi i N*,1 i 9 都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；

（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M,N, 若 OCM与 OCN的面积之比为4:1，求直线l的方程。