2014-2015学年高二数学(文)圆锥曲线试题 Word版含答(2)

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15．在△ABC中，已知B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=

3x5sinA,则点A的轨迹方程为9 y

16

1 。 ．如图，曲线Cx2y2

161是椭圆a2 b

2 1的一部分，F1，F2是其两焦点。曲线C2是以原点O为顶点、F2为

焦点的抛物线的一部分，A是曲线C1和C2的一个公共点，并且∠AF2F1为钝角。我们把由曲线C1和C2合成的曲线C称为“月食圆”。

①若|AF1| 7,|AF2| 5，则曲线C1、C2的方程分别为

x2y2

36 32

1（ 6 x 3）、y2 8x（0 x 3） ②过F2作直线l，分别于“月食圆”依次交于B、C、D、E四点，若

B(x1,y1),E(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，则x1x2x3x4为定值；

③过F2作直线l，分别于“月食圆”依次交于B、C、D、E四点，当l与x轴垂直时，

|CD|3

|BE| 4 ④连接BF , BFsin

1，EF2，在△BF1F2中，记 F1BF21F2 , F1F2B ，则e sin sin

。

以上说法正确的有 ①③④ .

三、解答题

17．已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)当轨迹C为焦点在y轴上的椭圆时，求λ的范围．

解析 (1)由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kyy

PM·kPN＝x＋1x－1

λ，

2整理得x2－yλ＝1(λ≠0，x≠±1)．

（2）当λ<－1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．

2

2

18．双曲线C与椭圆x27＋y

36

1有相同焦点，且经过点15，4)．

(1)求双曲线C的方程；

(2)若F1，F2是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且∠F1PF2＝120°，求△F1PF2的面积．

解：(1)椭圆的焦点为F21(0，－3)，F2(0,3)．

yax2

设双曲线的方程为b

1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝32＝9.①

又双曲线经过点15，4)，所以16a15

b

1，②

解①②得a2＝4，b2＝5或a2＝36，b2

＝－27(舍去)，所以所求双曲线C的方程为y2x245

1.

(2)由双曲线C的方程，知a＝2，b5，c＝3.

设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|m－n|＝2a＝4，平方得m2－2mn＋n2＝16.① 在△F1PF2中，由余弦定理得(2c)2＝m2＋n2－2mncos 120°＝m2＋n2＋mn＝36.②

由①②得mn＝203.所以△F153

1PF2的面积为S＝2mnsin 120°＝3

19.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l与此椭圆相交于A、B两点，且AB中点M为(-2，1)，AB 4，求直线l的方程和椭圆方程。

设椭圆方程为x2y2

2 2 1(a b 0) 、a2

ab

由题意：C、2Cc

c成等差数列， ∴4c c a2

c

c即a2 2c2，

∴a2=2(a2-b2),∴a2=2b2

x2y2

2椭圆方程为2b2 b

2 1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)

则x2y22

11x22b2 b2 1①

2b2 y2

b2

1② x2 x222①-②得12y1xm 2

2b2 y2

b

2

0 ∴

2b2 ym

b

2

k 0 即

2

k 0 ∴k=1 直线AB方程为y-1=x+2即y=x+3， 代入椭圆方程即x2+2y2-2b2=0得x2+2(x+3)2-2b2=0 ∴3x2+12x+18-2b2=0， AB x1 x2 1

1

3

2 12(18 2b2)2 4 解得b2

=12， ∴椭圆方程为

x224 y2

12

1，直线l方程为x-y+3=0

20.已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，