排列组合问题解法总结(4)

排列组合问题

1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34

2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. （27）

十四.构造模型策略

例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或 3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？

3

解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有C5 种

一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决

练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120）

十五.实际操作穷举策略

例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法

2

解：从5个球中取出2个与盒子对号有C5种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩

下3,4,5号球, 3,4,5号盒,3号球只能装入4号或5号盒,共两种装法,当3号球装4号盒时，则

2

4,5号球只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2C5

种 .

练习题：

1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张 别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9) 2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色, 则不同的着色方法有 72种 十六. 分解与合成策略

例16. 30030能被多少个不同的偶数整除

分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13

依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，

12345

所有的偶因数为：C5 C5 C5 C5 C5

13

25

4

练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线.(是连成异面直线,所以包括对角线)

4

解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共C8 12 58,每个四面体有

3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成3 58 174对异面直线

分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略 十七.化归策略

例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？

解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下

去.从3×3方队中选3人的方法有C3C2C1种．再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有C5C5选法所以从5×5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有

33111C5C5C3C2C1选法．从3 3方阵中任取3个人时,因这三人不在同一行同一列,

3

3

1

1

1

所以每行必有一人,据此,从每行任了