排列组合问题解法总结(2)

排列组合问题

三.不相邻问题插空策略

例3.一晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有A55种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间

44

包含首尾两个空位共有种A6不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有A55A6

练习题：

某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原 节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略

例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总

A77

排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：3

A3

4

(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A7种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1

4

种坐法，则共有A7种方法．（七个空位坐了四人，剩下３个空位按一定顺序坐下甲，乙，丙）

思考:可以先让甲乙丙就坐吗?

34

（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有C7（先选三个座位坐A4方法．

下甲，乙，丙共有C7种选法，余下四个空位排其它四人共有

3

434

种排法，所以共有C7A4种方法．） A4

练习题:

5

10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？C10

五.重排问题求幂策略

例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法

解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有7种不同的排法 练习题：

1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原

节目单中，那么不同插法的种数为 42 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法7

六.环排问题直排策略

如果在圆周上m个不同的位置编上不同的号码，那么从n个不同的元素的中选取m个不同的元素排在圆周上不同的位置，这种排列和直线排列是相同的；如果从n个不同的元素的中选取m个不同的元素排列在圆周上，位置没有编号，元素间的相对位置没有改变，不计顺逆方向，这种排列和直线排列是不同的，这就是环形排列的问题．一个m个元素的环形排列，相当于一个有m个顶点的多边形，沿相邻两个点的弧线剪断，再拉直就是形成一个直线排列，即一个m个元素的环形排列对应着m个直线排列，设从n个元素中取出m个元素组成的环形排列数为N个，则对应的直线排列数为mN个，又因为从n个元素中取出m个元素的排成一排的排列数为A

m

n个，所以

8

6

mN A

m

n，所以

mAn

N ．

m

mAn

即从n个元素中取出m个元素组成的环形排列数为N ．

m

nAnn!

(n 1)! n个元素的环形排列数为N nn

例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?

解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A4并从此位置把圆形展

成直线其余7人共有(8 1)! 7!种排法，即7! 7 6 5 4 3 2 1 840 种

4