排列组合问题解法总结(3)

排列组合问题

A

BCDEFGHA

练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120 七.多排问题直排策略

例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法

解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先排前４个位置，２个特殊元素有

15

A24种排法,再排后4个位置上的特殊元素丙有A4种,其余的5人在5个位置上任意排列有A5种,

15则共有A2（排好后，按前４个为前排，后４人为后排分成两排即可） 4A4A5种排法．

练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346

解：由于甲乙二人不能相邻，所以前排第1,4,8,11四个位置和后排第１，１２位置是排甲乙中的一个时，

1111与它相邻的位置只能排除一个，而其它位置要排除３个，所以共有排列C6C18 C14C17 108 238 346

八.排列组合混合问题先选后排策略

例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.

2

解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C5种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4

24

个不同的盒内有A4种方法，根据分步计数原理装球的方法共有C45A4

练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种

九.小集团问题先整体后局部策略

例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数在1,５在两个奇数之间,这样的五位数有

多少个？（注：两个偶数２，４在两个奇数１，５之间，这是题意，说这个结构不能被打破，故３只能排这个结构的外围，也就是说要把这个结构看成一个整体与３进行排列）．

22

解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有A22种排法，再排小集团内部共有A2A2种排法，由

22

分步计数原理共有A22A2A2种排法.

练习题：

１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连

54

在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为A22A5A4 552. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有A22A5A5种

十.元素相同问题隔板策略

例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,

有多少种分配方案？

解：因为

10个名额没有差别，把它们排成一排．相邻名额之间形成９个空隙．在９个空档中选６个位

置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C9

种

分法．

注：这和投信问题是不同的，投信问题的关键是信不同，邮筒也不同，而这里的问题是邮筒不同，但信是相同的．即班级不同，但名额都是一样的．

一二三四七

班班班班班

6

排列组合问题

4

10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ C9

32.x y z w 100求这个方程组的自然数解的组数 C103

十一.正难则反总体淘汰策略

例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的

取法有多少种？ 解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法．这十个数字中有5个偶数5个奇

312数,所取的三个数含有3个偶数的取法有C5,只含有1个偶数的取法有C5C5,和为偶数的取法共有

123123

．再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有C5C5C5 C5C5 C5 9

练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的

抽法有多少种?

十二.平均分组问题除法策略

例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？

222

解: 分三步取书得C6C4C2种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF，若第一步取

222

AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则C6C4C2中还有

(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有A33种取法 ,而这些分法仅是

22

C62C4C2

(AB,CD,EF)一种分法,故共有种分法．

A33

平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以Ann(n为均分的 组数 )避免重复计数。 练习题：

54C13C84C4

1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（）

A22

2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的

分组方法 （1540）

3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安

222C4C2A6

排2名，则不同的安排方案种数为______（ 90）

A22

十三. 合理分类与分步策略

例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节

目,有多少选派方法

解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员．选上唱歌人员为标准进行研究< …… 此处隐藏：485字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……