离散数学第二版邓辉文编著第一章第三节习题答(3)

离散数学第二版邓辉文编著第一章第三节习题答案

算有逆元?

解 (1)显然，对于任意A,B,C Mn(R)，根据线性代数知，

A(B C) AB AC且(B C)A BA CA，

因此，矩阵的乘法运算对矩阵的加法运算可分配.

(2)由于n阶单位矩阵E Mn(R), 且对于任意A Mn(R)，根据线性代数知，

EA AE A，

所以，n阶单位矩阵E是Mn(R)关于矩阵乘法的单位元素.

同样根据线性代数知，Mn(R)中只有可逆矩阵A才有逆元.

12.令Zm = {0, 1, 2, … , m - 1}，Zm上的两个2元运算分别是模m的加法运算“+m”和模m的乘法运算“ m”，定义如下: 任意x, y Zm ,

x my (x y)(modm),x my (xy)(modm).

(1) 写出Z6关于+6和.6的运算表. (2) 证明: .m运算对+m运算可分配.

解 (1) Z6关于+6和.6的运算表分别见表1.3和表1.4.

表1.3

(2)对于任意x, y , z Zm ,，由于乘法运算可交换且x (y z) x y x z，因此有

x m(y mz) x my mx mz

所以 .m运算对+m运算可分配.

13.试验证: Z关于加法运算+和减法运算-均没有零元素, 而Z关于乘法运算 . 的零元素为0.

解 若 是Z关于加法运算+的零元素，则对于任意x Z，均有x x ，这显然是不可能的.