离散数学第二版邓辉文编著第一章第三节习题答

离散数学第二版邓辉文编著第一章第三节习题答案

1.3 运算的定义及性质

习题1.3

1.分别判定取绝对值运算||、加法运算+、减法运算-、取大运算max、取小运算min是否为自然数集合N上的代数运算.

解 因为对于任意x N，|x| N，所以取绝对值运算||是N上的1元代数运算.

n(x,y) N，因此加法运算+、又因为对于任意任意x,y N，有x y,max(x,y),mi

取大运算max、取小运算min是自然数集合N上的2元代数运算.

而对于2,3 N，由于2 3 1 N，所以减法运算-不是自然数集合N上的2元代数运算.

2.证明: 集合A {3n|n N}关于数的加法运算不封闭.

证 由于31,32 A，而3 3 12 A，所以A关于数的加法运算不封闭. 3.设A {a,b,c}，求出A上的2元代数运算的个数.

解 考虑A关于2元代数运算*的运算表，在运算表中需要填运算结果的有

1

2

3 3 9个位置，而显然每个位置填a,b,c中任意一个元素均可，于是任意一种填

充元素的方法都是A上一种代数运算，因此A上的2元代数运算的个数为3.

4. 将十进制数365转换成八进制.

解 因为365 = 45 8 + 5，45 = 5 8 + 5，于是

9

365 45 8 5 (5 8 5) 8 5 5 82 5 8 5，

因此，365 = (555)8.

5. 分别计算16(mod 3)，-16(mod 3)，0(mod 3).

解 因为16 = 5 3 + 1，-16 = (-6) 3 + 2，0 = 0 3 + 0，所以16(mod 3) = 1，-16(mod 3) = 2，0(mod 3) = 0.

6. 利用素因数分解计算gcd(36, 48)和lcm(36, 48).

解 因为36 = 22 32， 48 = 24 3，于是gcd(36, 48) = 22 3 = 12，lcm(36, 48) = 24 32 = 144.

7. 使用欧几里得算法，计算gcd(14, 158) 并求出整数x和y使得gcd(14, 158) = 14x + 158y.

解 因为158 = 11 14 + 4, 14 = 3 4 + 2, 4 = 2 2, 所以gcd(14, 158) = 2. 由于 2 = 14 - 3 4，4 = 158 - 11 14, 于是2 = 14 - 3 (158 - 11 14) = 14 4 + 158 (-3).

8.设A {1,2,3},试根据所给定的运算表分别讨论其幂等性、交换性以及是否有单位元素，若有，请指出A中各元素的逆元素.