离散数学第二版邓辉文编著第一章第三节习题答(2)

离散数学第二版邓辉文编著第一章第三节习题答案

表1.1 表1.2

*123112322233332

112322223313

解 (1)在表1.1中，由于3*3=2，于是*不满足幂等性. 因为*运算表是对称的，所以*满足交换性. 又因为对于任意x A，有1* x = x * 1 = x，因此1是*运算的单位元素. 从运算表可知，1的逆元为1，2和3都没有逆元.

(2)在表1.2中，由于对于任意x A，有x*x x，于是*满足幂等性. 因为2*3 2 3*2 1，所以*不满足交换性. 又因为对于任意x A，有1* x = x * 1 = x，因此1是*运算的单位元素. 从运算表可知，1的逆元为1，2和3都没有逆元(3的右逆元为2，2的左逆元为3).

9.整数集合Z上的取大运算max和取小运算min相互可吸收. 试证明之.

证 由于max和min运算可交换，且对于任意x,y Z，无论x y,x y还是x y，显然都有

max(x,min(x,y)) x

以及

min(x,max(x,y)) x，

所以Z上的取大运算max和取小运算min相互可吸收.

10.设R[x]表示实数集R上的所有关于x的一元多项式组成的集合，试验证： (1)多项式的加法运算和多项式的乘法运算均满足结合律. (2)多项式的乘法运算对多项式的加法运算可分配. 解 (1)对于任意A(x),B(x),C(x) R[x]，显然有

(A(x) B(x)) C(x) A(x) (B(x) C(x))，

(A(x)B(x))C(x) A(x)(B(x)C(x))，

所以多项式的加法运算和多项式的乘法运算均满足结合律.

(2)对于任意A(x),B(x),C(x) R[x]， 由于多项式的乘法运算满足交换律且显然有

A(x)(B(x) C(x)) A(x)B(x) A(x)C(x)，

多项式的乘法运算对多项式的加法运算可分配.

11.设Mn(R)表示实数集R上的所有n阶方阵组成的集合， (1)试验证：矩阵的乘法运算对矩阵的加法运算可分配.

(2)Mn(R)关于矩阵乘法的单位元素是什么? Mn(R)中哪些元素关于乘法运