数学建模A试卷解答(3)

数学建模

r为固有增长率,N(t)为t时人口数，a为最初人口数，Nmax人口容量（资源、环境

能容纳的最大数量）。方法一：假设人口增长使用指数模型

指数关系将

。式取对数可得

，它是关于t的线性模型。

dN

=rx,x(0)=adt

利用1930~1999年的数据估计a,r。（可以得到lna=-28.33,r=0.0162,模型为

(亿)(1930≤t≤1999)

．

模型的拟合效果为（人口单位：亿）年代19301960197419871999人口数2030405060拟合数19.4931.7039.7849.1156.61拟合效果较好，可用于预报。）令N(t)=100，可求出t=2030.84，故可知如果照此规律大约在2031年世界人口将达到100亿，而于2100年世界人口将达到307亿。

方法二：或假设人口增长使用Logistic模型

dNN

=rN(1 x(0)=a。dtNmax

五、解：假设1）单位时间生产费用f(x′(t))与生产率平方成正比，比率系数为k1，其中

x(t)是产量；

2）单位时间产品的贮藏费g(x(t))与产量成正比，比率系数为k2。

c(x(t)：[0,T]时间内生产与贮存的总费用最小。

由假设，f(x′(t))=k1[x′(t)]，g(x(t))=k2x(t)

2

c(x(t)=min∫(f(x′(t))+g(x(t)))dt=min∫(k1[x′(t)]2+k2x(t))dt

TT

x(0)=0，x(T)=Q

用变分法求解.F(t,x,x′)=k1(x′)2+k2x，由Euler方程得：

Fx(t,x,x′)

d

Fx′(t,x,x′)=0dt

结合x(0)=0,x(T)=Q，

k2 2k1x′′(t)=0，