高三数学巩固练习(3)(4)

18．已知()f x 在(0,)+∞上是增函数，而且()0f x >，(3)1f =。判断1()()()g x f x f x =+ 在(0,3)上是增函数还是减函数，并加以证明。

解：函数g （x ）在 （0，3）上是减函数. 证明如下：任取0＜x 1＜x 2≤ 3， 则])(1)([])(1)([)()(221121x f x f x f x f x g x g +-+=-])

()(11)][()([2121x f x f x f x f --=.

∵ f （x ）在（0，+∞）是增函数， ∴ f （x 1）-f （x 2）＜0. 又f （x ）＞0，f （3）=1,

∴ 0＜f （1x ）＜f （2x ）≤f （3）=1，

∴ 0＜f （1x ）·f （2x ）＜1， )()(121x f x f ＞1， )

()(1121x f x f -＜0.

∴ g （x 1）- g （x 2）＞0，即g （x 1） ＞g （x 2）. 由此可知，函数)

(1)()(x f x f x g +=在（0，3）上是减函数。 19．设数列{}n a 和{}n b 满足116a b ==，224a b ==，333a b ==，且数列

{}1n n a a +-()n N *∈是等差数列，数列{}2n b -()n N *∈是等比数列。

（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）是否存在k N *∈，使1

(0,)2

k k a b -∈？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由。