1-3-2 几何概率、公理化定义

概率统计

1.32 几何概型和概率的公理化定义一、几何概型 二、概率的公理化定义

三、小结

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概率的古典定义具有可计算性的优点,但 它也有明显的局限性.要求样本点有限,如果样 本空间中的样本点有无限个, 概率的古典定义 就不适用了. 把有限个样本点推广到无限个样本点 的场合,人们引入了几何概型. 由此形成了 确定概率的另一方法 ——几何方法.

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一、几何概率定义1.4若对于一随机试验 ,每 个 样 本 点 出 现 是 等能 可 的, 样 本空间 所 含 的 样 本 点 个 数 为 穷 无多 个 ,且 具 有 非 零 的, 有 限 的 几 何 度 量 , 即0 m( ) , 则 称 这 一 随 机 试 验是一几何概型的 .

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定义1.5 当随机试验的样本空间是某个区域,并 且任意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子 区域是等可能的,则事件 A 的概率可定义为

m( A) P ( A) m( )(其 中m( ) 是 样 本 空 间 的 度 量 , m( A) 是 构 成 事 件 A 的子区域的度量 ) 这 样借 助 于几 何 上的量 度来合 理 规定的概率称为 几何概率 . 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概率.

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几何概型的概率的性质(1) 对任一事件A ,有 0 p( A) 1;

( 2) P ( ) 1, P ( ) 0;(3) 对于两两互斥的可列多 个事件 A1 , A2 , , P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 )

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会面问题例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预

定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t( t<T ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵 连.求甲、乙两人能会面的概率. 解 设 x , y 分别为甲,乙两人到达的时刻, 那末 0 x T , 0 y T .

两人会面的充要条件为 x y t ,

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若以 x, y 表示平面 上点的坐标 , 则有 故所求的概率为

T o

y

y x t

x y t

阴影部分面积 p 正方形面积

t

T

x

T 2 (T t )2 T2 t 2 1 (1 ) . T

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蒲丰投针试验

蒲丰资料

例2 1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针 试验问题.平面上画有等距离为a(>0)的一些平行直 线,现向此平面任意投掷一根长为b( <a )的针,试求 针与任一平行直线相交的概率. 解 以x表示针投到平面上时 ,

a

针的中点M到最近的一条平行 直线的距离, 表示针与该平行直线的 夹角.

M x

那么针落在平面上的位 置可由( x , )完全确定.

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投 针 试 验 的 所 有 可 能果 结 与矩形区域 a {( x , ) | 0 x ,0 } 2 中的所有点一一对应 .

a

M x

由投掷的任意性可知, 这是一个几何概型问题. 所关心的事件 A {针与任一平行直线相交 } 发生的充分必要条件为 中的点满足 b 0 x sin ,0

π 2

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m(G ) G的面积 P ( A) m( ) 的面积

0

π

b sin d 2 a π 22b . aπ

b a π 2

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蒲丰投针试验的应用及意义2b P ( A) aπ 根据频率的稳定性 ,当投针试验次数 n很大时, m 算出针与平行直线相交 的次数m , 则频率值 即可 n 作为P ( A)的近似值代入上式 , 那么 m 2b 2bn , π . n aπ am利用上式可计算圆周率π 的近似值.

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历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1)试验者 Wolf Smith 时间 1850 1855 针长 0.8 0.6 投掷次数 相交次数 π的近似值 5000 3204 2532 1218 3.1596 3.1554

De Morgan 1860Fox Lazzerini Reina 1884 1901 1925

1.00.75 0.83 0.5419

6001030 3408 2520

382489 1808 859

3.1373.1595 3.1415929 3.1795

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利用蒙特卡罗(Monte-Carlo)法进行计算机模拟 取a 1, b 0.85. 单击图形播放/暂停 ESC键退出

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二、概率的公理化定义与性质1933年 , 苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构 ,给出了概率的严格定义 ,使概 率论有了迅速的发展.柯尔莫哥洛夫资料

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1. 概率的定义1.7

设E是随机试验, 是它得样本空间.对于E的 每一事件A赋予一个实数, 记为P ( A), 称为事件 A的概率.如果集合函数P ( )满足下列条件 :

(1) 有界 性 : 对于每一个事件 A, 有 0 P( A) 1; (2)规范性: 对于必然事件 , 有 P( ) 1;(3) 可列可加性 : 设 A1 , A2 , 是两两互不相容的 事件,即对于 i j , Ai A j , i , j 1, 2, , 则有P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) 概率的可列可加性

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2. 性质(1) P ( ) 0.

证明 An ( n 1,2, ),则 An , 且 Ai A j , i j .n 1

由概率的可列可加性得 P ( ) P An P ( An ) n 1 n 1 P ( )n 1

P ( ) 0. P ( ) 0