2021年高三第一次模拟考试数学(理)参考答案(4)

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实用文档 ………………8分

设平面A 1DC 的法向量为

则

13313(,0,),(,3,),42330,4

41330.2CD A C x z x ==-⎧+=⎪⎪∴⎨⎪--=⎪⎩ 取13,(3,1,3).x A DC =-n 得平面的一个法向量为

可求平面ACA 1的一个法向量为. ………………10分

设二面角D —A 1C —A 的大小为，因为向量所成的角与所求二面角的大小相等， 则

所以二面角D —A 1C —A 的大小为……………………12分

20．解：（Ⅰ）的导数

由题意知,即 ………………2分

令解得令解得

从而在内单调递减，在内单调递增.

所以，当时，取得最小值1. ………………4分

（Ⅱ）解：因为不等式的解集为P ，且

所以对于任意，不等式恒成立.……………6分

由，得.

设，则.

（1）若，不等式显然成立. ……………8分

（2）若，则.

当,即时，，在上单调递增，

，此时，不等式成立. ……10分

当,即时，在上单调递减，

，此时，不等式不恒成立.

因此，实数a 的取值范围是. …………………………12分

21.解：（Ⅰ）依题意，可得，从而，故所求双曲线的方程为 . ………………………4分

（Ⅱ）解法一：设，由，消去x 可得，因为直线与双曲线有两个交点，故， 由韦达定理，得 ………………………………6分

两式相除，得 ,

所以，而C 点的坐标为，故直线AC 的斜率为

1112111113434134322AC y y y y my y k my x my +-+=

==+-+， ………………………………8分