高三一轮复习资料递推数列题型归纳解析(4)

⎩⎨⎧-==+q

st p t s 解法二(特征根法)：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02

=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。若21,x x 是特征方程的两个根，当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和

2,1=n ，代入12

11--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时，数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入11)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）。

例: 已知数列{}n a 中，),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。

解法一（待定系数——迭加法）:由025312=+-++n n n a a a ，得)(3

2112n n n n a a a a -=-+++，且a b a a -=-12。则数列{}n n a a -+1是以a b -为首项，

3

2为公比的等比数列，于是11)32)((-+-=-n n n a b a a 。把n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=代入，得a b a a -=-12，)32()(23⋅-=-a b a a ，234)32()(⋅-=-a b a a ，∙∙∙21)3

2)((---=-n n n a b a a 。把以上各式相加，得 ])32()32(321)[(21-+⋅⋅⋅+++-=-n n a b a a )(3

21)32(11

a b n ---=-。 a b b a a a b a n n n 23)32)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--。 解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x 。32,121==x x ,∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)32(-⋅+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是

⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎩

⎪⎨⎧+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 类型8 r n n pa a =+1)0,0(>>n a p