高三一轮复习资料递推数列题型归纳解析(3)

例:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a . 解：设B An b a B ，An a b n n n n --=++=则，将1,-n n a a 代入递推式，得 []12)1(31-+---=---n B n A b B An b n n )133()23(31+----=-A B n A b n

⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=∴13323A B B A A ⎩

⎨⎧==11B A 1++=∴n a b n n 取…（１）则13-=n n b b ,又61=b ，故n n n b 32361⨯=⨯=-代入（１）得132--⨯=n a n n

说明：（1）若)(n f 为n 的二次式，则可设C Bn An a b n n +++=2;(2)本题也可由1231-+=-n a a n n ,1)1(2321--+=--n a a n n （3≥n ）两式相减得2)(3211+-=----n n n n a a a a 转化为n n n qb pb b +=++12求之. 类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =)

解法：这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n

n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例：已知数列{}n a 前n 项和2214--

-=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a . 解：（1）由2214--

-=n n n a S 得：111214-++--=n n n a S 于是)21

21(

)(1211--++-+-=-n n n n n n a a S S 所以11121-+++-=n n n n a a a n n n a a 2

1211+=⇒+. （2）应用类型4（n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ））的方法，上

式两边同乘以12+n 得：22211+=++n n n n a a 由12

14121111=⇒-

-==-a a S a .于是数列{}n n a 2是以2为首项，2为公差的等差数列，所以n n a n n 2)1(222=-+=12-=⇒n n n a 类型7 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中s ，t 满足