《线段的垂直平分线》课件1(20张PPT)(沪科版八年级上)

§13.1.2

线段的垂直平分线刘贵才

火石山中学

2013年9月24日

一、创境导入，自主提高安达市政府为了方便居民的生活，计划在 三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物 中心，试问，该购物中心应建于何处，才 能使得它到三个小区的距离相等。

A

B

C

二、基础探究，合作提高动手操作：作线段AB的中垂线MN,垂足为C;在MN上任取一点P,连结PA、PB; (1)量一量：PA、PB的长，你能发现什 么？(2)另取一点p1呢？ …… PA=PB P1A=P1B P M

(3)由此你能得到什么规律？

命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 A C P1 B

N

线段的垂直平分线命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 M 已知:如图， 直线MN⊥AB,垂足为C, 且AC=CB. 点P在MN上. P 求证： PA=PB

证明：∵MN⊥AB ∴ ∠ PCA= ∠ PCB=90º 在 ΔPAC和Δ PBC中， AC=BC ∠ PCA= ∠ PCB PC=PC ∴ ΔPAC ≌Δ PBC ∴PA=PB

A

C

B

N

线段的垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段 两个端点的距离相等。线段垂直平分线上的点和这 条线段两个端点的距离相等

M P

点P在线段 AB的垂直 平分线上

PA=PB

A

C

B

N

13.1.2 线段的垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端 点的 距离相等。 逆命题：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段 的垂直平分线上。 P

点P在线段 AB的垂直 平分线上

?

PA=PB

A

C

B

性质定理的逆命题：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 已知：线段AB,点P是平面内一点且PA=PB。

求证：P点在AB的垂直平分线上。证明：过点P作已知线段AB的垂线PC, ∵PA=PB,PC=PC, ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)。 ∴AC=BC,

P

即P点在AB的垂直平分线上。如初多媒体 制 作 中 心

A

C

B

已知：线段AB,点P是平面内一点且PA=PB 求证：P点在AB的垂直平分线上. 证法二： 取AB的中点C,过点P,C作直线PC ∵AP=BP,PC=PC.AC=CB,

P

∴△APC≌△BPC(SSS).∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等) 又∵∠PCA+∠PCB=180°,

A

C

B

∴∠PCA=∠PCB=∠90°,即PC⊥AB∴P点在AB的垂直平分线上.如初多媒体 制 作 中 心

已知：线段AB,点P是平面内一点且PA=PB 求证：P点在AB的垂直平分线上. 证法三： 过P点作∠APB的角平分线交AB于点C. ∵AP=BP,∠APC=∠BPC,PC=PC, ∴△APC≌△BPC(SAS). ∴AC=BC,∠PCA=∠PCB 又∵∠PCA+∠PCB=180 ° ∴∠PCA=∠PCB=90° ∴P点在线段AB的垂直平分线上.如初多媒体 制 作 中 心

P

A

C

B

线段的垂直平分线一、性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端 点的距离相等。

二、逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的

垂直平分线上。

点P在线段 AB的垂直 平分线上

线段垂直平分线上的点和这 条线段两个端点的距离相等

PA=PB和一条线段两个端点距离相等的 点，在这条线段的垂直平分线上

三、 线段的垂直平分线的集合定义：

你能根据上述定理和逆定理，说出 线段的垂直平分线可以看作是和线 线段的垂直平分线的集合定义吗？ 段两个端点距离相等的所有点的集合

三、例题示范，互动提高例1 已知:如图,在ΔABC中,边AB,BC的垂直平分线交于P. 求证：PA=PB=PC; A 分析：M

点P在线段AB的 垂直平分线上 PA=PB

点P在线段BC的 垂直平分线上 PB=PCB

M’P C N N’

PA=PB=PC

例1 已知:如图,在ΔABC中,边AB,BC的垂直平分 线交于P. 求证：PA=PB=PC; A证明：∵点P在线段AB的垂直平分线M上， ∴PA=PB(?). 同理 PB=PC.B P C M M’

N N’

∴PA=PB=PC.

你能依据例1得到什么结论？ 结论： 三角形三边垂直平分线交于一点， 这一点到三角形三个顶点的距离相等。

实际问题释疑安达市政府为了方便居民的生活，计划 在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购 物中心，试问，该购物中心应建于何处， 才能使得它到三个小区的距离相等。

A

B

C

线段的垂直平分线

实际问题求作一点P,使它 和△ABC的三个顶 点距离相等.

数学化A

实 际 问 题 1C

B

p

PA=PB=PC

四、拓展探究，变式提高如图，若AC=5,BC=7,BC 的垂直平分线交BC 于E,

交AB 于D,(1)求△A CD的周长.(2)若BE=4,求△ABC的周长【解析】 ∵ED是线段AB的垂直平分线，

A D

∴ BD=CD, ∵ △ACD的周长=AD+DC+AC ∴ △ACD的周长= AD+BD+AC = AB+AC = 5+7=12.如初多媒体 制 作 中 心

B E

C

四、拓展探究，变式提高变式如图，如果△ACD的周长为18cm, △ABC的周长为28cm, DE是BC的垂直平分线,A D B E C

根据这些条件，求线段BC的长? 【解析】(1)△ACD的周长=AD +CD+AC=18cm. (2)△ABC的周长=AB+AC+BC=28cm.

(3)由DE是BC的垂直平分线得：BD=CD;所以AD+CD= AD+BD=AB. (4)由(2)中式子-(1)中式子得BC=10cm.如初多媒体 制 作 中 心